Soal 02 Latihan Pra UAS Kalkulus Lanjut

Soal
Diberikan fungsi vektor:
$${\overrightarrow{F}}_{\left(x,y\right)}=\langle \mathrm{1,}y\rangle$$

a) Sketsakan fungsi vektor diatas
b) Hitung integral garis vektor (IGV) saat melakukan perpindahan koordinat dari (1,3) --> (5,N)
c) Hitung ulang IGV poin (b) menggunakan konsep Teorema Fundamental Integral Garis (jika berlaku)
Dimana: N = satu angka terakhir NIM mahasiswa

Pembahasan Soal
Kita akan membahas soal ini dengan mengambil nilai N = 5


Bagian a) Sketsakan fungsi vektor diatas
Untuk mensketsa fungsi vektor F(x,y) = <1,y> dari soal, kita akan mengambil beberapa input fungsinya yaitu koordinat atau (x,y) untuk mendapatkan output fungsinya yaitu komponen vektor arah sumbu x (P) dan komponen vektor arah sumbu y (Q).

Berikutnya, kita plotkan informasi dari tabel ke dalam grafik untuk mendapatkan medan vektor dari fungsi soal.

Bagian b) Hitung integral garis vektor (IGV) saat melakukan perpindahan koordinat dari (1,3) --> (5,N)
Untuk menghitung integral garis vektor (IGV) kita akan menggunakan formula
$$IGV={\displaystyle \underset{t1}{\overset{t2}{\int }}\overrightarrow{F}\left(r_{\left(t\right)}\right)•r{\text{'}}_{\left(t\right)}.dt}$$

Langkah awal adalah menuliskan koordinat perpindahan dalam bentuk parametrik, dimana nilai N=5 sehingga perpindahan korrdinat menjadi (1,3) --> (5,5).
$$\begin{array}{l}\left(\mathrm{1,3}\right)\to \left(\mathrm{5,5}\right)\\ \begin{array}{l}x=\left(x_2-x_1\right)t+x_1=\left(5-1\right)t+1\\ x=4t+1\\ y=\left(y_2-y_1\right)t+y_1=\left(5-3\right)t+3\\ y=2t+3\end{array}\}0\le t\le 1\end{array}$$

Berikutnya kita ubah parametrik perpindahan menjadi bentuk vektor parametrik dan cari turunannya.
$$\begin{array}{l}{r}_{\left(t\right)}=\langle x,y\rangle =\langle 4t+\mathrm{1,2}t+3\rangle \\ r{\text{'}}_{\left(t\right)}=\langle \mathrm{4,2}\rangle \end{array}$$

Selanjutnya mengubah fungsi vektor soal ke bentuk vektor parametrik.
$$\begin{array}{l}{\overrightarrow{F}}_{\left(x,y\right)}=\langle \mathrm{1,}y\rangle \\ {\overrightarrow{F}}_{\left(x,y\right)}=\langle \mathrm{1,2}t+3\rangle \end{array}$$

Setelah kita mendapatkan potongan-potongan pembentuk formula integral garis vektor, kita satukan dan hitung integral garis vektor yang diminta.
$$\begin{array}{l}IGV={\displaystyle \underset{t1}{\overset{t2}{\int }}\overrightarrow{F}\left(r_{\left(t\right)}\right)•r{\text{'}}_{\left(t\right)}.dt}\\ IGV={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\langle \mathrm{1,2}t+3\rangle •\langle \mathrm{4,2}\rangle .dt}={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1.4+\left(2t+3\right).2\right).dt}\\ IGV={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4+4t+6\right).dt}={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4t+10\right).dt}\\ IGV={\frac{4}{2}{t}^2+10t|}_0^1={2t^2+10t|}_0^1=\left({2.1}^2+10.1\right)-\left({2.0}^2+10.0\right)\\ IGV=\left(2+10\right)-\left(0\right)=12\end{array}$$

Dari hasil perhitungan, kita dapatkan integral garis vektor bernilai 12


Bagian c) Hitung ulang IGV poin (b) menggunakan konsep Teorema Fundamental Integral Garis (jika berlaku)
Kondisi agar teorema fundamental integral garis bisa dipakai untuk menghitung integral garis vektor adalah jika medan vektor soal merupakan medan vektor konservatif.
Langkah awal adalah kita akan mengecek apakah medan vektor soal F(x,y) = <1,y> merupakan medan vektor konservatif atau bukan konservatif dengan menggunakan turunan parsial silang pada komponen-komponennya.
$$\boxed{\begin{array}{l}{\overrightarrow{F}}_{\left(x,y\right)}=\langle P_{\left(x,y\right)},Q_{\left(x,y\right)}\rangle \\ \text{Jika }\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\text{ maka medan vektor konservatif}\end{array}}$$

Berikut perhitungannya.
$$\begin{array}{l}{\overrightarrow{F}}_{\left(x,y\right)}=\langle P_{\left(x,y\right)},Q_{\left(x,y\right)}\rangle =\langle \mathrm{1,}y\rangle \\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial \left(1\right)}{\partial y}=0\\ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial \left(y\right)}{\partial x}=0\\ \text{Karena }\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\text{ maka medan vektor konservatif}\end{array}$$

Karena medan vektor soal merupakan medan vektor konservatif, kita bisa menghitung integral garis vektor (IGV) dengan mencari dahulu fungsi potensialnya, yaitu suatu fungsi z = f(x,y) yang jika diturunkan secara parsial terhadap x akan didapat komponen vektor sumbu x dan jika diturunkan secara parsial terhadap y akan didapat komponen vektor sumbu y dari fungsi vektor soal F(x,y) = <1,y>
$$\begin{array}{l}{\overrightarrow{F}}_{\left(x,y\right)}=\langle \mathrm{1,}y\rangle \\ z=f_{\left(x,y\right)}=x+\frac{1}{2}{y}^2\end{array}$$

Fungsi potensial yang memenuhi kondisi diatas adalah z = f(x,y) = x + (1/2).y^2
Selanjutnya kita bisa hitung integral garis vektor dengan hanya menggunakan koordinat perpindahan (1,3) --> (5,5) dan fungsi potensial diatas seperti berikut.
$$\begin{array}{l}\left(\mathrm{1,3}\right)\to \left(\mathrm{5,5}\right)\\ z=f_{\left(x,y\right)}=x+\frac{1}{2}{y}^2\\ IGV=f\left(x_2,y_2\right)-f\left(x_1,y_1\right)\\ IGV=\left(5+\frac{1}{2}{.5}^2\right)-\left(1+\frac{1}{2}{.3}^2\right)\\ IGV=\left(5+\frac{25}{2}\right)-\left(1+\frac{9}{2}\right)=4+\frac{16}{2}\\ IGV=4+8=12\end{array}$$

Dari hasil perhitungan, kita dapatkan integral garis vektor bernilai 12 (dimana nilai ini sama dengan hasil perhitungan di poin b)

Demikian pengerjaannya . . .