Soal 01 Latihan Pra UAS Kalkulus Lanjut

Soal
Diberikan fungsi multivariabel berikut:
$$z=3x+4y^2+N$$

a) Hitung volume yang terbentuk diatas bidang XY dengan batas-batas 3 ≤ x ≤ 5 dan 0 ≤ y ≤ 4
b) Hitung integral garis skalar (IG) saat melakukan perpindahan koordinat dari (2,5) --> (6,7)
Dimana: N = satu angka terakhir NIM mahasiswa




Pembahasan Soal
Kita akan membahas soal ini dengan mengambil nilai N = 5 sehingga fungsi multivariabel soal menjadi
$$z=3x+4y^2+5$$

Bagian a) Hitung volume yang terbentuk diatas bidang XY dengan batas-batas 3 ≤ x ≤ 5 dan 0 ≤ y ≤ 4
Untuk menghitung volume diatas bidang XY sampai ke fungsi z=f(x,y), kita akan menggunakan integral lipat.
Dari informasi soal, kita tulis kembali batas-batas untuk ketiga sumbu.
$$\begin{array}{l}3\le x\le 5\\ 0\le y\le 4\\ 0\le z\le 3x+4y^2+5\end{array}$$

Berikutnya, kita akan menghitung volume benda pejal yang terbentuk dari batas-batas tersebut dengan menggunakan integral lipat tiga.

$$Volume={\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\boxed{{\displaystyle \underset{3}{\overset{5}{\int }}\boxed{{\displaystyle \underset{0}{\overset{3x+4y^2+5}{\int }}1.dz}}.dx}}.dy}$$

Proses perhitungan integral lipat dilakukan dari kotak paling tengah lalu ke kotak diluarnya, mulai dari integral terhadap variabel z, lalu integral terhadap variabel x, kemudian integral terhadap variabel y.
Pada bagian ini, kita akan melakukan integral terhadap variabel z, lalu memasukkan batas-batas sumbu z, kemudian menulis ulang integral untuk perhitungan volume.
$$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{3x+4y^2+5}{\int }}1.dz}={z|}_0^{3x+4y^2+5}=\left(3x+4y^2+5\right)-\left(0\right)=3x+4y^2+5\\ Volume={\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\boxed{{\displaystyle \underset{3}{\overset{5}{\int }}\boxed{{\displaystyle \underset{0}{\overset{3x+4y^2+5}{\int }}1.dz}}.dx}}.dy}={\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\boxed{{\displaystyle \underset{3}{\overset{5}{\int }}3x+4y^2+5.dx}}.dy}\end{array}$$

Berikutnya adalah integral terhadap variabel x, lalu memasukkan batas-batas sumbu x, kemudian menulis ulang integral untuk perhitungan volume.
$$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{3}{\overset{5}{\int }}3x+4y^2+5.dx}={\frac{3}{2}{x}^2+4x{y}^2+5x|}_3^5\\ =\left(\frac{3}{2}{.5}^2+4.5y^2+5.5\right)-\left(\frac{3}{2}{.3}^2+4.3y^2+5.3\right)\\ =\left(\frac{3}{2}.25+20y^2+25\right)-\left(\frac{3}{2}.9+12y^2+15\right)\\ =\frac{3}{2}.16+8y^2+10=24+8y^2+10=8y^2+34\\ Volume={\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\boxed{{\displaystyle \underset{3}{\overset{5}{\int }}3x+4y^2+5.dx}}.dy}={\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}8y^2+34.dy}\end{array}$$

Selanjutnya dilakukan integral terhadap variabel y, lalu memasukkan batas-batas sumbu y untuk mendapatkan perhitungan volume benda pejal yang kita cari.
$$\begin{array}{l}Volume={\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}8y^2+34.dy}={\frac{8}{3}{y}^3+34y|}_0^4\\ Volume=\left(\frac{8}{3}{.4}^3+34.4\right)-\left(\frac{8}{3}{.0}^3+34.0\right)\\ Volume=\left(\frac{8}{3}.64+136\right)-\left(0\right)=\frac{512}{3}+\frac{408}{3}=\frac{920}{3}\\ Volume=306\frac{2}{3}\simeq \mathrm{306,667}sv\end{array}$$

Dari proses perhitungan, kita dapatkan volume benda pejal dengan batas-batas dari soal adalah 306,667 sv.

Bagian b) Hitung integral garis skalar (IG) saat melakukan perpindahan koordinat dari (2,5) --> (6,7)
Untuk menghitung integral garis skalar (IG) kita akan menggunakan formula
$$IG={\displaystyle \underset{t1}{\overset{t2}{\int }}f\left(x_{\left(t\right)},y_{\left(t\right)}\right).\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}.dt}$$

Langkah awal adalah menuliskan koordinat perpindahan dalam bentuk parametrik.
$$\begin{array}{l}\left(\mathrm{2,5}\right)\to \left(\mathrm{6,7}\right)\\ \begin{array}{l}x=\left(x_2-x_1\right)t+x_1=\left(6-2\right)t+2\\ x=4t+2\\ y=\left(y_2-y_1\right)t+y_1=\left(7-5\right)t+5\\ y=2t+5\end{array}\}0\le t\le 1\end{array}$$
Berikutnya kita cari turunan dari fungsi parametrik perpindahan diatas.
$$\begin{array}{l}x=4t+2\to \frac{dx}{dt}=4\\ y=2t+5\to \frac{dy}{dt}=2\end{array}$$

Selanjutnya mengubah fungsi multivariabel soal ke bentuk parametrik.
$$\begin{array}{l}z=f\left(x,y\right)=3x+4y^2+5\\ f\left(x_{\left(t\right)},y_{\left(t\right)}\right)=3.\left(4t+2\right)+4.{\left(2t+5\right)}^2+5\\ f\left(x_{\left(t\right)},y_{\left(t\right)}\right)=\left(12t+6\right)+4.\left(4t^2+20t+25\right)+5\\ f\left(x_{\left(t\right)},y_{\left(t\right)}\right)=12t+6+16t^2+80t+100+5\\ f\left(x_{\left(t\right)},y_{\left(t\right)}\right)=16t^2+92t+111\end{array}$$

Setelah kita mendapatkan potongan-potongan pembentuk formula integral garis skalar, kita satukan dan hitung integral garis skalar yang diminta.
$$\begin{array}{l}IG={\displaystyle \underset{t1}{\overset{t2}{\int }}f\left(x_{\left(t\right)},y_{\left(t\right)}\right).\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}.dt}\\ IG={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(16t^2+92t+111\right).\sqrt{{\left(4\right)}^2+{\left(2\right)}^2}.dt}\\ IG={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(16t^2+92t+111\right).\sqrt{20}.dt}=\sqrt{20}.{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(16t^2+92t+111\right).dt}\\ IG=\sqrt{20}.{\left|\frac{16}{3}{t}^3+\frac{92}{2}{t}^2+111t\right|}_0^1=\sqrt{20}.{\left|\frac{16}{3}{t}^3+46t^2+111t\right|}_0^1\\ IG=\sqrt{20}.\left[\left(\frac{16}{3}{.1}^3+{46.1}^2+111.1\right)-\left(\frac{16}{3}{.0}^3+{46.0}^2+111.0\right)\right]\\ IG=\sqrt{20}.\left[\left(\frac{16}{3}+46+111\right)-\left(0\right)\right]=\sqrt{20}.\left(\frac{16}{3}+157\right)\\ IG=\sqrt{20}.\left(\frac{16}{3}+\frac{471}{3}\right)=\sqrt{20}.\left(\frac{487}{3}\right)\simeq \mathrm{725,977}\end{array}$$

Dari hasil perhitungan, kita dapatkan integral garis skalar bernilai 725,977


Demikian pengerjaannya . . .