0052 Luas Bidang Datar Menggunakan Integral Lipat 001

Soal

Carilah luas bidang datar dengan batas kiri dan batas kanan pada sumbu x dan batas bawah dan batas atas pada sumbu y dibawah ini.

$$\begin{array}{c}0\le x\le 3\\ x^2\le y\le 9\end{array}$$
Jawaban Soal

Untuk mendapatkan gambaran bidang datar yang akan dicari luasnya, kita akan menguraikan batas-batas yang diberikan di soal, kemudian kita plotkan batas-batas tersebut ke dalam grafik.

$$\begin{array}{cc}SumbuX& x\ge 0\\ & x\le 3\\ SumbuY& y\ge x^2\\ & y\le 9\end{array}$$
Setelah diuraikan, kita plotkan semua batas yang sudah berupa persamaan kedalam grafik seperti dibawah ini, dimana kita dapatkan gambaran bidang datar yang akan dicari luasnya yaitu daerah yang diarsir.

Berikutnya kita akan menghitung luas daerah yang diarsir menggunakan integral lipat, dalam hal ini integral lipat dua karena kita akan mengintegralkan terhadap batas-batas di arah sumbu x dan sumbu y. Ingatlah bahwa jika ada batas berupa persamaan maka kita akan mendahulukannya dalam proses integral, dan integral pada lapis terluar baru terhadap batas-batas berupa angka.

Pertama-tama kita tuliskan bentuk integral berbatas dengan batas-batas kedua sumbu sesuai soal. Dari soal, karena batas sumbu y berupa persamaan, kita akan mengintegralkannya lebih dahulu, baru pada lapis luar kita lakukan integralkan terhadap sumbu x.

$${\displaystyle \underset{x=0}{\overset{x=3}{\int }}\boxed{{\displaystyle \underset{y=x^2}{\overset{y=9}{\int }}1.dy}}.dx}$$
Pada bagian ini kita akan hitungkan dahulu integral terhadap batas-batas sumbu y.

$${\displaystyle \underset{y=x^2}{\overset{y=9}{\int }}1.dy}={\left[y\right]}_{y=x^2}^{y=9}=9-x^2$$
Setelah kita dapatkan hasilnya, kita masukkan ke bagian kotak dari bentuk integral lipat awal, kemudian kita integralkan terhadap batas-batas sumbu x.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{x=0}{\overset{x=3}{\int }}\left(9-x^2\right).dx}={\left[9x-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_{x=0}^{x=3}\\ =\left(9.3-\frac{1}{3}{.3}^3\right)-\left(9.0-\frac{1}{3}{.0}^3\right)\\ =\left(27-\frac{1}{3}.27\right)-\left(0\right)\\ =27-9=18\end{array}$$
Dari perhitungan menggunakan integral lipat dua, kita mendapatkan luas bidang datar sesuai batas-batas dalam soal adalah sebesar 18 satuan luas.