0051 Pemodelan Menggunakan Persamaan Differensial Biasa 001

Soal

Sebuah kolam mempunyai kapasitas 1000 m3 terisi penuh dengan air, dimana didalamnya terlarut polutan sebanyak 100 gram. Dimasukkan air dengan debit 10 m3/menit dengan konsentrasi polutan 2 gram/m3. Air yang dimasukkan segera bercampur secara seragam dengan air didalam kolam. Karena kolam dalam keadaan penuh, di sisi lain terdapat air keluaran dengan debit yang sama dengan debit air masuk yaitu 10 m3/menit.
Tuliskan persamaan banyaknya polutan dalam fungsi waktu.
Berapa jumlah polutan dalam tangki air saat waktu t=0 menit dan saat t=tak terhingga?

Jawaban Soal

Untuk menyelesaikan soal cerita diatas, pertama-tama kita akan menuliskan informasi-informasi yang kita ketahui dan mensketsa suatu model yang bisa dipakai untuk menyelesaikan persoalan diatas.

Persoalan diatas merupakan masalah pencampuran (mixing problem) dan bisa dimodelkan dalam bentuk persamaan differensial, dimana kecepatan atau perubahan jumlah polutan terhadap perubahan waktu atau dx/dt tergantung tingkat masukan (R in) dan tingkat keluaran (R out) dari polutan.

$$\frac{dx}{dt}=R_{in}-R_{out}$$
Jumlah polutan dalam fungsi waktu yang diminta dituliskan adalah x(t) dimana x atau jumlah polutan mempunyai satuan gram, dan nantinya bisa didapat dengan menyelesaikan persamaan differensial yang terbentuk. Waktu (t) dalam satuan menit. Untuk mendapatkan persamaan differensialnya, pertama-tama kita perlu mencari besar tingkat polutan yang masuk (R in) dan tingkat polutan yang keluar (R out), dimana R merupakan perkalian dari debit air (Q) dan konsentrasi polutan (C).

$$\begin{array}{c}{R}_{in}=Q.C\\ R_{in}=10\frac{m^3}{menit}.2\frac{gram}{m^3}\\ R_{in}=20\frac{gram}{menit}\end{array}$$
Dibagian atas kita dapatkan tingkat polutan yang masuk (R in) yaitu sebesar 20. Untuk menncari tingkat polutan yang keluar (R out), kita mesti ingat bahwa konsentrasinya (C) merupakan hasil pembagian antara jumlah polutan dalam kolam (x) dengan volume kolam (V).

$$\begin{array}{c}{R}_{out}=Q.C\\ R_{out}=10\frac{m^3}{menit}.\left(\frac{x}{V}\frac{gram}{m^3}\right)\\ R_{out}=10\frac{m^3}{menit}.\left(\frac{x}{1000}\frac{gram}{m^3}\right)\\ R_{out}=\frac{1}{100}.x\frac{gram}{menit}\end{array}$$
Setelah mendapatkan tingkatan polutan yang masuk (R in) dan tingkatan polutan yang keluar (R out), kita bisa menuliskan pemodelan diatas dalam bentuk persamaan differensial.

$$\begin{array}{c}\frac{dx}{dt}=R_{in}-R_{out}\\ \frac{dx}{dt}=20-\frac{1}{100}.x\end{array}$$
Selanjutnya kita akan sederhanakan persamaan differensial diatas.

$$\begin{array}{c}\frac{dx}{dt}=20-\frac{1}{100}.x\\ \frac{dx}{dt}=20.\frac{100}{100}-\frac{1}{100}.x\\ \frac{dx}{dt}=\frac{2000}{100}-\frac{x}{100}\\ \frac{dx}{dt}=\frac{2000-x}{100}\end{array}$$
Dengan persamaan differensial yang lebih sederhana diatas, kita bisa selesaikan sebagai berikut.

$$\begin{array}{c}\frac{dx}{dt}=\frac{2000-x}{100}\\ \frac{1}{2000-x}.dx=\frac{1}{100}.dt\\ {\displaystyle \int \frac{1}{2000-x}.dx}={\displaystyle \int \frac{1}{100}.dt}\end{array}$$
Untuk mengintegralkan ruas kiri, kita akan menggunakan subsitusi.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int \frac{1}{2000-x}.dx}={\displaystyle \int \frac{1}{u}.dx}\\ u=2000-x\\ \frac{du}{dx}=-1\\ du=-1.dx\\ dx=-1.du\\ {\displaystyle \int \frac{1}{2000-x}.dx}={\displaystyle \int \frac{1}{u}.dx}={\displaystyle \int \frac{1}{u}.\left(-1\right).dx}\\ {\displaystyle \int \frac{1}{u}.dx}=-{\displaystyle \int \frac{1}{u}.dx}=-\ln \left|u\right|\end{array}$$
Hasil ruas kiri ini kita masukkan kembali ke proses perhitungan persamaan differensial kita.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int \frac{1}{2000-x}.dx}={\displaystyle \int \frac{1}{100}.dt}\\ -\ln \left|u\right|={\displaystyle \int \frac{1}{100}.dt}\\ -\ln \left|u\right|=\frac{1}{100}.t+C\\ \overline{)-\ln \left|u\right|=\frac{1}{100}.t+C}.\left(-1\right)\\ \ln \left|u\right|=\frac{-1}{100}.t+C\\ e^{\ln \left|u\right|}=e^{\frac{-1}{100}.t+C}\\ u=e^{\frac{-1}{100}.t}.e^C\\ u=k.e^{\frac{-1}{100}.t}\end{array}$$
Sampai bagian ini, kita tuliskan kembali u yang sama dengan 2000-x dan meneruskan perhitungan.

$$\begin{array}{c}u=k.e^{\frac{-1}{100}.t}\\ 2000-x=k.e^{\frac{-1}{100}.t}\\ \boxed{x\left(t\right)=2000-k.e^{\frac{-1}{100}.t}}\end{array}$$
Hasil diatas merupakan solusi umum (general solution) dari persamaan differensial yang kita dapatkan. Berikutnya kita akan mencari solusi khusus (specific solution) dengan memasukan kondisi awal yang ada.

$$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\text{Kondisi Awal}:& \boxed{x{}_{\left(0\right)}=100}\end{array}\\ x\left(t\right)=2000-k.e^{\frac{-1}{100}.t}\\ 2000-k.e^{\frac{-1}{100}.0}=100\\ k.e^0=2000-100\\ k.1=1900\\ k=1900\end{array}$$
Setelah mendapat nilai konstanta (k), kita subsitusikan nilai k tersebut ke solusi umum untuk mendapatkan solusi khusus.

$$\begin{array}{c}\boxed{k=1900}\\ x\left(t\right)=2000-k.e^{\frac{-1}{100}.t}\\ \boxed{x\left(t\right)=2000-1900.e^{\frac{-1}{100}.t}}\end{array}$$
Solusi khusus diatas merupakan fungsi yang menunjukkan jumlah polutan yang ada dalam kolam dalam waktu t menit.

Berikutnya kita diminta menuliskan jumlah polutan pada waktu t=0 menit dan t= tak terhingga menit.

$$\begin{array}{cc}\boxed{t=0}\to & x\left(t\right)=2000-1900.e^{\frac{-1}{100}.t}\\ & \begin{array}{l}x\left(0\right)=2000-1900.e^{\frac{-1}{100}.0}\\ x\left(0\right)=2000-1900.e^0\\ x\left(0\right)=2000-1900.1\\ x\left(0\right)=2000-1900\\ x\left(0\right)=100gram\end{array}\end{array}$$
Pada waktu t=0 menit, jumlah polutan dalam kolam sebanyak 100 gram, dimana hal ini konsisten dengan kondisi awal banyaknya polutan yang terdapat dalam kolam.

$$\begin{array}{cc}\boxed{t=\infty }\to & x\left(t\right)=2000-1900.e^{\frac{-1}{100}.t}\\ & \begin{array}{l}x\left(\infty \right)=2000-1900.e^{\frac{-1}{100}.\infty }\\ x\left(\infty \right)=2000-1900.e^{-\infty }\\ x\left(\infty \right)=2000-\frac{1900}{e^{\infty }}\\ x\left(\infty \right)=2000-\frac{1900}{\infty }\\ x\left(\infty \right)=2000-0\\ x\left(\infty \right)=2000gram\end{array}\end{array}$$
Jadi pada waktu t= tak terhingga menit, jumlah polutan dalam kolam akan menjadi 2000 gram.

Berikut ini diberikan grafik dari solusi khusus yang memberikan gambaran perubahan jumlah polutan dalam kolam (gram) terhadap waktu (menit).