0053 Luas Bidang Datar Menggunakan Integral Lipat 002

Soal

Carilah luas bidang datar seperti pada gambar plot soal 0052 dengan melakukan integrasi pada arah sumbu x dahulu, kemudian baru ke arah sumbu y.

Jawaban Soal

Soal ini berhubungan dengan soal 0052 Luas Bidang Datar Menggunakan Integral Lipat 001

Dari soal diatas, kita diminta untuk menghitung ulang luas daerah yang diarsir pada soal 0052 (dimana telah kita dapatkan sebesar 18 satuan luas) dengan melakukan integral pada sumbu x dahulu baru pada sumbu y.

Untuk menghitungnya, kita perlu menyesuaikan orientasi sumbu dan merubah batas-batas dari soal 0052 sehingga bisa dipakai untuk soal ini.

$$\begin{array}{cc}SumbuX& x\ge 0\\ & x\le y^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\\ SumbuY& y\ge 0\\ & y\le 9\end{array}$$
Berikutnya kita akan menghitung kembali luas daerah yang diarsir menggunakan integral lipat, dalam hal ini integral lipat dua karena kita akan mengintegralkan terhadap batas-batas di arah sumbu x dan sumbu y. Ingatlah bahwa jika ada batas berupa persamaan maka kita akan mendahulukannya dalam proses integral, dan integral pada lapis terluar baru terhadap batas-batas berupa angka.

Pertama-tama kita tuliskan bentuk integral berbatas dengan batas-batas kedua sumbu sesuai yang telah kita sesuaikan. Karena batas sumbu x berupa persamaan, kita akan mengintegralkannya lebih dahulu, baru pada lapis luar kita lakukan integralkan terhadap sumbu y.

$${\displaystyle \underset{y=0}{\overset{y=9}{\int }}\boxed{{\displaystyle \underset{x=0}{\overset{x=y^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{\int }}1.dx}}.dy}$$
Pada bagian ini kita akan hitungkan dahulu integral terhadap batas-batas sumbu x.

$${\displaystyle \underset{x=0}{\overset{x=y^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{\int }}1.dx}={\left[x\right]}_{x=0}^{x=y^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}=y^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}-0=y^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$$
Setelah kita dapatkan hasilnya, kita masukkan ke bagian kotak dari bentuk integral lipat awal, kemudian kita integralkan terhadap batas-batas sumbu y.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{y=0}{\overset{y=9}{\int }}{y}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}.dy}={\left[\frac{1}{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.+1}{y}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.+1}\right]}_{y=0}^{y=9}={\left[\frac{1}{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}{y}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\right]}_{y=0}^{y=9}\\ ={\left[\frac{2}{3}{y}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\right]}_{y=0}^{y=9}=\left(\frac{2}{3}{.9}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\right)-\left(\frac{2}{3}{.0}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\right)\\ =\left(\frac{2}{3}.27\right)-\left(0\right)=18\end{array}$$
Dari perhitungan menggunakan integral lipat dua, kita mendapatkan luas bidang datar sebesar 18 satuan luas, dan hasil ini sama dengan perhitungan soal 0052.