0049 Persamaan Differensial Biasa Menggunakan Pemisahan Variabel 001

Soal

Carilah solusi umum dari persamaan differensial dibawah ini.

$$6.\frac{dx}{dt}=7x$$
Jawaban Soal

Dari soal, kita kenali bahwa persamaan differensial yang diberi berjenis persamaan differensial biasa atau PDB (ordinary differential equation/ODE) karena berbentuk turunan biasa dan bukan turunan parsial, dan kita kenali juga bahwa persamaan differensial tersebut berorder 1 karena pangkat tertinggi turunannya adalah satu. Selain itu, karena dalam soal tidak diberikan kondisi awal atau nilai awal (initial condition/value) maka penyelesaian soal diatas akan berupa solusi umum dari persamaan differensial tersebut.


Untuk menyelesaikan persamaan differensial dari soal, kita akan menggunakan metode pemisahan variabel (separation of variables), yaitu dengan memisahkan variabel x ke ruas kiri dan variabel t ke ruas kanan, kemudian diintegralkan. Ingat, bahwa jika hanya ada variabel x yang secara eksplisit diberikan dalam bentuk soal, kita tetap bisa memisahkan dan mendapatkan hasil integrasi untuk variabel t menggunakan komponen yang bukan variabel x.

$$\begin{array}{c}6.\frac{dx}{dt}=7x\\ \frac{1}{x}.dx=\frac{7}{6}.dt\end{array}$$
Setelah kita pisahkan kedua variabel, kita lakukan integrasi untuk kedua ruas persamaan. Ingat, jangan lupa memasukkan konstanta C pada hasil integrasinya.

$$\begin{array}{c}\frac{1}{x}.dx=\frac{7}{6}.dt\\ {\displaystyle \int \frac{1}{x}.dx}={\displaystyle \int \frac{7}{6}.dt}\\ {\displaystyle \int \frac{1}{x}.dx}=\frac{7}{6}{\displaystyle \int 1.dt}\\ \ln \left|x\right|=\frac{7}{6}.t+C\end{array}$$
Sampai potongan diatas, kita perlu mengubah ln(x) menjadi bentuk x, yaitu solusi yang ingin kita cari. Caranya adalah memanfaatkan salah satu sifat logaritma seperti berikut ini.

$$\begin{array}{c}\ln \left|x\right|=\frac{7}{6}.t+C\\ e^{\ln \left|x\right|}=e^{\frac{7}{6}.t+C}\\ e^{\ln \left|x\right|}=e^{\frac{7}{6}.t}.e^C\\ x\left(t\right)=e^{\frac{7}{6}.t}.C\\ \boxed{x\left(t\right)=C.e^{\frac{7}{6}.t}}\end{array}$$
Fungsi x terhadap t atau x(t) diatas merupakan solusi umum dari persamaan differensial soal.