0048 Persamaan Differensial Biasa Menggunakan Integrasi Langsung 002

Soal

Carilah solusi khusus dari persamaan differensial dibawah ini dengan kondisi awal x(0)=0 dan x'(0)=1.

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=20$$
Jawaban Soal

Soal nomor 0048 ini merupakan lanjutan dari soal nomor 0047.

Untuk mendapatkan solusi khusus dari suatu persamaan differensial, kita perlu dulu mengetahui solusi umumnya. Dimana, untuk persamaan differensial yang diberikan di soal telah kita kerjakan sebelumnya pada soal 0047. Jadi kita akan teruskan pengerjaannya dari soal 0047.

$$\begin{array}{c}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=20\\ \frac{dx}{dt}=20.t+C_1\\ x_{\left(t\right)}=10.t^2+C_1.t+C_2\end{array}$$
Fungsi x(t) diatas merupakan solusi umum (general solution) dari persamaan differensial yang diberikan, dan untuk solusi khususnya, kita akan mensubsitusikan kondisi awal atau nilai awal yang ada ke dalam persamaan-persamaan diatas untuk mendapatkan nilai konstanta (C1 dan C2) yang sebelumnya di soal 0047 belum kita ketahui nilainya.

$$\begin{array}{cc}\text{Kondisi Awal}:& \boxed{\begin{array}{c}x{}_{\left(0\right)}=0\\ x\text{'}{}_{\left(0\right)}=1\end{array}}\end{array}$$
Kondisi awal x(0)=0 akan kita subsitusikan ke x(t) untuk mendapatkan nilai C2.

$$\begin{array}{cc}& x_{\left(t\right)}=10.t^2+C_1.t+C_2\\ x{}_{\left(0\right)}=0\to & {10.0}^2+C_1.0+C_2=0\\ & \begin{array}{c}\bcancel{{10.0}^2}+\bcancel{C_1.0}+C_2=0\\ \boxed{C_2=0}\end{array}\end{array}$$
Kita dapatkan C2 bernilai 0. Selanjutnya kita subsitusikan kondisi awal x'(0)=1 ke turunan pertama x(t) untuk mendapatkan nilai C1.

$$\begin{array}{cc}& \frac{dx}{dt}=20.t+C_1\\ x\text{'}{}_{\left(0\right)}=1\to & 20.0+C_1=1\\ & \begin{array}{c}\bcancel{20.0}+C_1=1\\ \boxed{C_1=1}\end{array}\end{array}$$
Kita dapatkan nilai C1 bernilai 1. Setelah mendapatkan nilai C1 dan C2, selanjutnya kita subsitusikan kembali nilai C1 dan C2 tersebut ke solusi umum untuk mendapatkan solusi khusus dari persamaan differensialnya.

$$\begin{array}{cc}& x_{\left(t\right)}=10.t^2+C_1.t+C_2\\ C_1=1;C_2=0\to & x_{\left(t\right)}=10.t^2+1.t+0\\ & \boxed{x_{\left(t\right)}=10.t^2+t}\end{array}$$
Dan berikut diberikan plot grafik dari solusi khusus diatas.