0047 Persamaan Differensial Biasa Menggunakan Integrasi Langsung 001

Soal

Selesaikanlah persamaan differensial dibawah ini.

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=20$$
Jawaban Soal

Dari soal, kita kenali bahwa persamaan differensial yang diberi berjenis persamaan differensial biasa atau PDB (ordinary differential equation/ODE) karena berbentuk turunan biasa dan bukan turunan parsial, dan kita kenali juga bahwa persamaan differensial tersebut berorder 2 karena pangkat tertinggi turunannya adalah dua. Selain itu, karena dalam soal tidak diberikan kondisi awal atau nilai awal (initial condition/value) maka penyelesaian soal diatas akan berupa solusi umum dari persamaan differensial tersebut.


Untuk mencari solusi umumnya atau dalam hal ini adalah x(t) atau x fungsi dari t, kita bisa menggunakan metode integrasi langsung, dengan melakukan proses integral untuk ruas kiri dan ruas kanan.

$$\begin{array}{c}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=20\\ {\displaystyle \int \left(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\right).dt}={\displaystyle \int 20.dt}\\ \frac{dx}{dt}=20.t+C_1\end{array}$$
Sesudah kita lakukan proses integral satu kali, kita dapat bentuk turunan pertama dari x(t) yang memiliki satu buat konstanta (C1) yang belum kita ketahui nilainya. Berikutnya kita akan melakukan sekali lagi proses integral agar kita bisa dapatkan x(t) atau solusi umum dari persamaan differensial yang diberikan.

$$\begin{array}{c}\frac{dx}{dt}=20.t+C_1\\ {\displaystyle \int \left(\frac{dx}{dt}\right).dt}={\displaystyle \int \left(20.t+C_1\right).dt}\\ \boxed{x_{\left(t\right)}=10.t^2+C_1.t+C_2}\end{array}$$

Dari proses integral kedua kalinya, kita mendapatkan x(t) atau fungsi x terhadap t, yang memiliki dua konstanta (C1 dan C2) yang belum diketahui nilainya. Fungsi x(t) diatas merupakan solusi umum dari persamaan differensial soal.