0028 Turunan Parsial Fungsi Menggunakan Aturan Pembagian 001

Soal

Carilah turunan parsial terhadap x dan terhadap y dari fungsi z=f(x,y) dibawah.

$$z=f\left(x,y\right)=\frac{2x-y}{x+y}$$
Jawaban Soal

Kita bisa mengerjakan soal diatas menggunakan aturan pembagian seperti yang dipakai untuk fungsi dengan satu variabel bebas. Berikut ini diberikan kembali aturan pembagian untuk menghitung turunan.


$$\boxed{\begin{array}{c}z=\frac{u}{v}\\ z\text{'}=\frac{u\text{'}.v-u.v\text{'}}{v^2}\end{array}}$$
Bentuk soal bisa kita tulis ulang menjadi dua potongan.

$$\begin{array}{c}z=\frac{2x-y}{x+y}\to \boxed{z=\frac{u}{v}}\\ u=2x-y\\ v=x+y\end{array}$$
Selanjutnya kita cari turunan parsial dari fungsi z mengunakan aturan pembagian, yang perlu diingat adalah u' dan v' perlu disesuaikan dengan variabel yang diturunkan.

Berikut pengerjaan untuk turunan parsial fungsi z terhadap variabel x.

$$\begin{array}{c}z=\frac{2x-y}{x+y}\to \boxed{z=\frac{u}{v}}\\ u=2x-y\to \boxed{u\text{'}=\frac{\partial u}{\partial x}=2}\\ v=x+y\to \boxed{v\text{'}=\frac{\partial v}{\partial x}=1}\\ z\text{'}=\frac{u\text{'}.v-u.v\text{'}}{v^2}\\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2.\left(x+y\right)-\left(2x-y\right).1}{{\left(x+y\right)}^2}\\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2x+2y-2x+y}{{\left(x+y\right)}^2}\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{3y}{{\left(x+y\right)}^2}}\end{array}$$
Dan pengerjaan turunan parsial fungsi z terhadap variabel y seperti berikut.

$$\begin{array}{c}z=\frac{2x-y}{x+y}\to \boxed{z=\frac{u}{v}}\\ u=2x-y\to \boxed{u\text{'}=\frac{\partial u}{\partial y}=-1}\\ v=x+y\to \boxed{v\text{'}=\frac{\partial v}{\partial y}=1}\\ z\text{'}=\frac{u\text{'}.v-u.v\text{'}}{v^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\left(-1\right).\left(x+y\right)-\left(2x-y\right).1}{{\left(x+y\right)}^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-x-y-2x+y}{{\left(x+y\right)}^2}\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-3x}{{\left(x+y\right)}^2}}\end{array}$$