0027 Turunan Parsial Fungsi Menggunakan Aturan Perkalian 002

Soal

Carilah turunan parsial terhadap x dan terhadap y dari fungsi z=f(x,y) dibawah.

$$z=f\left(x,y\right)=\left(4x-2y\right).\left(3x+5y\right)$$
Jawaban Soal

Kita bisa mengerjakan soal diatas dengan dua cara:

• melakukan perkalian silang pada dua potongan fungsi
• mengunakan aturan perkalian

Perkalian silang pada dua potongan fungsi
Soal diatas bisa kita jabarkan dengan melakukan perkalian silang pada dua potongan fungsi seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}z=\left(4x-2y\right).\left(3x+5y\right)\\ z=12x^2+20xy-6xy-10y^2\\ z=12x^2+14xy-10y^2\end{array}$$
Sesudah kita jabarkan, selanjutnya bisa dicari turunan parsial fungsi z terhadap x dan terhadap y seperti berikut ini.

$$\begin{array}{c}z=12x^2+14xy-10y^2\\ \frac{\partial z}{\partial x}=12.(2x)+14y.(1)-0\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=24x+14y}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=0+14x.(1)-10.(2y)\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=14x-20y}\end{array}$$
Aturan perkalian
Kita juga bisa mengerjakan soal diatas menggunakan aturan perkalian seperti yang dipakai untuk fungsi dengan satu variabel bebas. Berikut ini diberikan kembali aturan perkalian untuk menghitung turunan.

$$\boxed{\begin{array}{c}z=u.v\\ z\text{'}=u\text{'}.v+u.v\text{'}\end{array}}$$
Bentuk soal bisa kita tulis ulang menjadi dua potongan.

$$\begin{array}{c}z=\left(4x-2y\right).\left(3x+5y\right)\\ z=u.v\\ u=4x-2y\\ v=3x+5y\end{array}$$
Selanjutnya kita cari turunan parsial dari fungsi z mengunakan aturan perkalian, yang perlu diingat adalah u' dan v' perlu disesuaikan dengan variabel yang diturunkan.

Berikut pengerjaan untuk turunan parsial fungsi z terhadap variabel x.

$$\begin{array}{c}z=\left(4x-2y\right).\left(3x+5y\right)\\ z=u.v\\ u=4x-2y\to \boxed{u\text{'}=\frac{\partial u}{\partial x}=4}\\ v=3x+5y\to \boxed{v\text{'}=\frac{\partial v}{\partial x}=3}\\ z=u\text{'}.v+u.v\text{'}\\ \frac{\partial z}{\partial x}=4.\left(3x+5y\right)+\left(4x-2y\right).3\\ \frac{\partial z}{\partial x}=12x+20y+12x-6y\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=24x+14y}\end{array}$$
Dan pengerjaan turunan parsial fungsi z terhadap variabel y seperti berikut.

$$\begin{array}{c}z=\left(4x-2y\right).\left(3x+5y\right)\\ z=u.v\\ u=4x-2y\to \boxed{u\text{'}=\frac{\partial u}{\partial y}=-2}\\ v=3x+5y\to \boxed{v\text{'}=\frac{\partial v}{\partial y}=5}\\ z=u\text{'}.v+u.v\text{'}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=\left(-2\right).\left(3x+5y\right)+\left(4x-2y\right).5\\ \frac{\partial z}{\partial y}=-6x-10y+20x-10y\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial y}=14x-20y}\end{array}$$
Kedua cara memberikan hasil yang sama.