0026 Turunan Parsial Fungsi Menggunakan Aturan Perkalian 001

Soal

Carilah turunan parsial terhadap x dan terhadap y dari fungsi z=f(x,y) dibawah.

$$z=f\left(x,y\right)=\left(2x-y\right).\left(x+3y\right)$$
Jawaban Soal

Kita bisa mengerjakan soal diatas dengan dua cara:

• melakukan perkalian silang pada dua potongan fungsi
• mengunakan aturan perkalian

Perkalian silang pada dua potongan fungsi
Soal diatas bisa kita jabarkan dengan melakukan perkalian silang pada dua potongan fungsi seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}z=\left(2x-y\right).\left(x+3y\right)\\ z=2x^2+6xy-xy-3y^2\\ z=2x^2+5xy-3y^2\end{array}$$
Sesudah kita jabarkan, selanjutnya bisa dicari turunan parsial fungsi z terhadap x dan terhadap y seperti berikut ini.

$$\begin{array}{c}z=2x^2+5xy-3y^2\\ \frac{\partial z}{\partial x}=2.(2x)+5y.(1)-0\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=4x+5y}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=0+5x.(1)-3.(2y)\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=5x-6y}\end{array}$$
Aturan perkalian
Kita juga bisa mengerjakan soal diatas menggunakan aturan perkalian seperti yang dipakai untuk fungsi dengan satu variabel bebas. Berikut ini diberikan kembali aturan perkalian untuk menghitung turunan.

$$\boxed{\begin{array}{c}z=u.v\\ z\text{'}=u\text{'}.v+u.v\text{'}\end{array}}$$
Bentuk soal bisa kita tulis ulang menjadi dua potongan.

$$\begin{array}{c}z=\left(2x-y\right).\left(x+3y\right)\\ z=u.v\\ u=2x-y\\ v=x+3y\end{array}$$
Selanjutnya kita cari turunan parsial dari fungsi z mengunakan aturan perkalian, yang perlu diingat adalah u' dan v' perlu disesuaikan dengan variabel yang diturunkan.

Berikut pengerjaan untuk turunan parsial fungsi z terhadap variabel x.

$$\begin{array}{c}z=\left(2x-y\right).\left(x+3y\right)\\ z=u.v\\ u=2x-y\to \boxed{u\text{'}=\frac{\partial u}{\partial x}=2}\\ v=x+3y\to \boxed{v\text{'}=\frac{\partial v}{\partial x}=1}\\ z=u\text{'}.v+u.v\text{'}\\ \frac{\partial z}{\partial x}=2.\left(x+3y\right)+\left(2x-y\right).1\\ \frac{\partial z}{\partial x}=2x+6y+2x-y\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=4x+5y}\end{array}$$
Dan pengerjaan turunan parsial fungsi z terhadap variabel y seperti berikut.

$$\begin{array}{c}z=\left(2x-y\right).\left(x+3y\right)\\ z=u.v\\ u=2x-y\to \boxed{u\text{'}=\frac{\partial u}{\partial y}=-1}\\ v=x+3y\to \boxed{v\text{'}=\frac{\partial v}{\partial y}=3}\\ z=u\text{'}.v+u.v\text{'}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=\left(-1\right).\left(x+3y\right)+\left(2x-y\right).3\\ \frac{\partial z}{\partial y}=-x-3y+6x-3y\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial y}=5x-6y}\end{array}$$
Kedua cara memberikan hasil yang sama.