0025 Turunan Parsial Fungsi Umum 003

Soal

Carilah turunan parsial tingkat kedua terhadap s, terhadap t, dan terhadap u dari fungsi y=f(s,t,u) dibawah.

$$y=f(s,t,u)=5st{u}^2+2s^{3}t+3t^{2}u+5s^2{u}^2$$
Jawaban Soal

Untuk mencari turunan parsial tingkat kedua dari fungsi yang mempunyai lebih dari satu variabel bebas, kita perlu menjabarkan dulu jumlah kemungkinan turunan parsial tingkat kedua yang bisa terbentuk.


Sebelumnya, kita akan melihat dahulu jumlah kemungkinan turunan parsial tingkat kesatu dari fungsi y=f(s,t,u) seperti didalam soal. Dikarenakan ada tiga variabel didalam fungsi y=f(s,t,u) yaitu variabel s, t, dan u; maka ada tiga kemungkinan turunan parsial tingkat kesatu yang bisa terbentuk, yaitu turunan parsial tingkat kesatu fungsi y terhadap s, terhadap t, dan terhadap u.

$$\begin{array}{ccc}& \boxed{y=f(s,t,u)}& \\ \frac{\partial y}{\partial s}& \frac{\partial y}{\partial t}& \frac{\partial y}{\partial u}\end{array}$$
Dan dari masing-masing turunan parsial tingkat pertama, kita bisa mendapatkan tiga turunan parsial tingkat kedua.

Dari turunan parsial tingkat kesatu terhadap variabel s, kita bisa dapatkan turunan parsial tingkat kedua seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{ccc}& \boxed{\frac{\partial y}{\partial s}}& \\ \frac{{\partial }^{2}y}{\partial s^2}& \frac{{\partial }^{2}y}{\partial s\partial t}& \frac{{\partial }^{2}y}{\partial s\partial u}\end{array}$$
Dari turunan parsial tingkat kesatu terhadap variabel t, kita bisa dapatkan turunan parsial tingkat kedua seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{ccc}& \boxed{\frac{\partial y}{\partial t}}& \\ \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t\partial s}& \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}& \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t\partial u}\end{array}$$
Dari turunan parsial tingkat kesatu terhadap variabel u, kita bisa dapatkan turunan parsial tingkat kedua seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{ccc}& \boxed{\frac{\partial y}{\partial u}}& \\ \frac{{\partial }^{2}y}{\partial u\partial s}& \frac{{\partial }^{2}y}{\partial u\partial t}& \frac{{\partial }^{2}y}{\partial u^2}\end{array}$$
Jadi ada sembilan kemungkinan turunan parsial tingkat kedua.

Catatan:
Untuk pengerjaan selanjutnya, kita akan langsung memakai hasil hitungan turunan parsial tingkat kesatu dari fungsi soal yang telah dikerjakan di artikel 0024 Turunan Parsial Fungsi Umum 002. Silakan dipelajari dahulu.

Dari turunan parsial tingkat kesatu fungsi y terhadap variabel s
Kita bisa mendapatkan tiga turunan parsial tingkat kedua seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}\boxed{\frac{\partial y}{\partial s}=5t{u}^2+6s^{2}t+10s{u}^2}\\ \frac{{\partial }^{2}y}{\partial s^2}=0+6.2s^{2-1}t+10.1s^{1-1}{u}^2\\ \boxed{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial s^2}=12st+10u^2}\\ \frac{{\partial }^{2}y}{\partial s\partial t}=5.1t^{1-1}{u}^2+6s^2.1t^{1-1}+0\\ \boxed{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial s\partial t}=5u^2+6s^2}\\ \frac{{\partial }^{2}y}{\partial s\partial u}=5t.2u^{2-1}+0+10s.2u^{2-1}\\ \boxed{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial s\partial u}=10tu+20su}\end{array}$$
Dari turunan parsial tingkat kesatu fungsi y terhadap variabel t
Kita bisa mendapatkan tiga turunan parsial tingkat kedua seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}\boxed{\frac{\partial y}{\partial t}=5s{u}^2+2s^3+6tu}\\ \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t\partial s}=5.1s^{1-1}{u}^2+2.3s^{3-1}+0\\ \boxed{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t\partial s}=5u^2+6s^2}\\ \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=0+0+6.1t^{1-1}u\\ \boxed{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=6u}\\ \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t\partial u}=5s.2u^{2-1}+0+6t.1u^{1-1}\\ \boxed{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t\partial u}=10su+6t}\end{array}$$
Dari turunan parsial tingkat kesatu fungsi y terhadap variabel u
Kita bisa mendapatkan tiga turunan parsial tingkat kedua seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}\boxed{\frac{\partial y}{\partial u}=10stu+3t^2+10s^{2}u}\\ \frac{{\partial }^{2}y}{\partial u\partial s}=10.1s^{1-1}tu+0+10.2s^{2-1}u\\ \boxed{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial u\partial s}=10tu+20su}\\ \frac{{\partial }^{2}y}{\partial u\partial t}=10s.1t^{1-1}u+3.2t^{2-1}+0\\ \boxed{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial u\partial t}=10su+6t}\\ \frac{{\partial }^{2}y}{\partial u^2}=10st.1u^{1-1}+0+10s^2.1u^{1-1}\\ \boxed{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial u^2}=10st+10s^2}\end{array}$$
Kalau kita perhatikan, ada beberapa turunan parsial tingkat kedua yang mempunyai hasil yang sama seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}\boxed{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial s\partial t}=\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t\partial s}}=5u^2+6s^2\\ \boxed{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial s\partial u}=\frac{{\partial }^{2}y}{\partial u\partial s}}=10tu+20su\\ \boxed{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t\partial u}=\frac{{\partial }^{2}y}{\partial u\partial t}}=10su+6t\end{array}$$
Hal ini terjadi jika sebuah fungsi yang mempunyai lebih dari satu variabel bebas diturunkan secara parsial tingkat kedua terhadap dua variabel, perbedaan urutan variabel dimana fungsi tersebut diturunkan tidak berpengaruh terhadap hasil turunan parsial, atau hasilnya akan sama.