0029 Turunan Parsial Fungsi Menggunakan Aturan Pembagian 002

Soal

Carilah turunan parsial terhadap x dan terhadap y dari fungsi z=f(x,y) dibawah.

$$z=f\left(x,y\right)=\frac{5x+y}{x-2y}$$
Jawaban Soal

Kita bisa mengerjakan soal diatas menggunakan aturan pembagian seperti yang dipakai untuk fungsi dengan satu variabel bebas. Berikut ini diberikan kembali aturan pembagian untuk menghitung turunan.


$$\boxed{\begin{array}{c}z=\frac{u}{v}\\ z\text{'}=\frac{u\text{'}.v-u.v\text{'}}{v^2}\end{array}}$$
Bentuk soal bisa kita tulis ulang menjadi dua potongan.

$$\begin{array}{c}z=\frac{5x+y}{x-2y}\to \boxed{z=\frac{u}{v}}\\ u=5x+y\\ v=x-2y\end{array}$$
Selanjutnya kita cari turunan parsial dari fungsi z mengunakan aturan pembagian, yang perlu diingat adalah u' dan v' perlu disesuaikan dengan variabel yang diturunkan.

Berikut pengerjaan untuk turunan parsial fungsi z terhadap variabel x.

$$\begin{array}{c}z=\frac{5x+y}{x-2y}\to \boxed{z=\frac{u}{v}}\\ u=5x+y\to \boxed{u\text{'}=\frac{\partial u}{\partial x}=5}\\ v=x-2y\to \boxed{v\text{'}=\frac{\partial v}{\partial x}=1}\\ z\text{'}=\frac{u\text{'}.v-u.v\text{'}}{v^2}\\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{5.\left(x-2y\right)-\left(5x+y\right).1}{{\left(x-2y\right)}^2}\\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{5x-10y-5x-y}{{\left(x-2y\right)}^2}\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-11y}{{\left(x-2y\right)}^2}}\end{array}$$
Dan pengerjaan turunan parsial fungsi z terhadap variabel y seperti berikut.

$$\begin{array}{c}z=\frac{5x+y}{x-2y}\to \boxed{z=\frac{u}{v}}\\ u=5x+y\to \boxed{u\text{'}=\frac{\partial u}{\partial y}=1}\\ v=x-2y\to \boxed{v\text{'}=\frac{\partial v}{\partial y}=-2}\\ z\text{'}=\frac{u\text{'}.v-u.v\text{'}}{v^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1.\left(x-2y\right)-\left(5x+y\right).\left(-2\right)}{{\left(x-2y\right)}^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x-2y+10x+2y}{{\left(x-2y\right)}^2}\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{11x}{{\left(x-2y\right)}^2}}\end{array}$$