0004 Integral Fungsi Dari Fungsi Linear 001

Soal

Selesaikan soal integral berikut.

$${\displaystyle \int {\left(3x+2\right)}^4.dx}$$
Jawaban Soal

Untuk menyelesaikan soal diatas kita perlu mengubah bentuk awal soal menjadi bentuk yang lebih umum kita temui.



$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int {\left(3x+2\right)}^4.dx}={\displaystyle \int u^4.dx}\\ \Rightarrow u=3x+2\end{array}$$
Integral di ruas kanan mirip dengan salah satu bentuk integral fungsi yang umum.

$$\boxed{{\displaystyle \int u^4.dx}}\iff \boxed{{\displaystyle \int a{x}^n.dx}=\frac{a}{n+1}{x}^{n+1}.dx}$$
Untuk meneruskan penyelesaian soalnya, kita perlu ingat bahwa kita perlu mengintegralkan fungsi u, yang dalam hal ini u=3x+2, terhadap variabel u sendiri. Sehingga kita akan mencari hubungan dx dengan du dengan memanipulasi fungsi u tersebut.

$$\begin{array}{c}u=3x+2\\ 3x=u-2\\ x=\frac{u-2}{3}=\frac{1}{3}u-\frac{2}{3}\\ \frac{dx}{du}=\frac{1}{3}\\ dx=\frac{1}{3}du\end{array}$$
Lalu kita subsitusikan hubungan dx dengan du diatas ke dalam soal yang tadi kita ubah ke integral fungsi u.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int u^4.dx}\rightleftharpoons dx=\frac{1}{3}du\\ {\displaystyle \int u^4.\frac{1}{3}du=\frac{1}{3}}{\displaystyle \int u^4.du}\end{array}$$
Berikutnya kita bisa selesaikan integral fungsi u terhadap variabel u tersebut karena sekarang merupakan bentuk integral fungsi umum. Setelah diintegralkan, kita perlu subsitusikan kembali isi dari fungsi u ke hasil integralnya.

$$\begin{array}{l}\frac{1}{3}{\displaystyle \int u^4.du}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4+1}{u}^{4+1}\right)+C=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{5}{u}^5\right)+C\\ \frac{1}{3}{\displaystyle \int u^4.du}=\frac{1}{15}{u}^5+C=\frac{1}{15}{\left(3x+2\right)}^5+C\end{array}$$
Jadi hasil integral dari soal adalah sebagai berikut.

$$\boxed{{\displaystyle \int {\left(3x+2\right)}^4.dx}=\frac{1}{15}{\left(3x+2\right)}^5+C}$$