0003 Integral Fungsi Menggunakan Pecahan Parsial 002

Soal

Carilah integral dari fungsi berikut ini.

$${\displaystyle \int \frac{6x+1}{4x^2+4x-3}.dx}$$
Jawaban Soal

Jika kita diberi soal integral dalam bentuk pecahan seperti diatas, kita bisa selesaikan dengan dua langkah berikut:

• mengubah bentuk pecahan utuh dari soal menjadi bentuk pecahan parsialnya
• mengerjakan integral dari setiap potongan pecahan parsial

Mengubah bentuk pecahan utuh dari soal menjadi bentuk pecahan parsialnya

Untuk mengubah pecahan utuh dari soal menjadi bentuk pecahan parsialnya, pertama-tama kita tuliskan fungsi di bagian penyebutnya menjadi faktor-faktornya.

$$\frac{6x+1}{4x^2+4x-3}=\frac{6x+1}{(2x+3)(2x-1)}$$
Kemudian kita tuliskan bentuk pecahan parsialnya dengan memasukkan variabel A dan B. Nama variabel boleh saja menggunakan huruf atau simbol lain.

$$\frac{6x+1}{(2x+3)(2x-1)}=\frac{A}{2x+3}+\frac{B}{2x-1}$$
Selanjutnya kita kalikan kedua ruas dengan penyebut dari ruas kiri, kemudian kita sederhanakan persamaan tersebut dengan mengelompokkan yang ada variabel x dan yang tidak ada variabel x.

$$\begin{array}{c}\left\{\frac{6x+1}{(2x+3)(2x-1)}=\frac{A}{2x+3}+\frac{B}{2x-1}\right\}.(2x+3)(2x-1)\\ \frac{(6x+1).(2x+3)(2x-1)}{(2x+3)(2x-1)}=\frac{A.(2x+3)(2x-1)}{x+5}+\frac{B.(2x+3)(2x-1)}{2x+1}\\ \frac{(6x+1).\bcancel{(2x+3)}\bcancel{(2x-1)}}{\bcancel{(2x+3)}\bcancel{(2x-1)}}=\frac{A.\bcancel{(2x+3)}(2x-1)}{2\bcancel{x+3}}+\frac{B.(2x+3)\bcancel{(2x-1)}}{\bcancel{2x-1}}\\ 6x+1=A.(2x-1)+B.(2x+3)\\ 6x+1=2Ax-A+2Bx+3B\\ 6x+1=(2A+2B)x+(-A+3B)\end{array}$$
Dari persamaan diatas, kita bisa menarik kesimpulan sebagai berikut.

$$\begin{array}{l}2A+2B=6\\ -A+3B=1\end{array}$$
Untuk mendapatkan besarnya variabel A dan B, kita bisa menggunakan metode eliminasi dan subsitusi.

$$\begin{array}{c}\overline{)\begin{array}{l}2A+2B=6\\ -A+3B=1\end{array}}\overline{)\begin{array}{l}\times 1\\ \times 2\end{array}}{\overline{)\begin{array}{l}2A+2B=6\\ -2A+6B=2\end{array}}}_{+}\\ 8B=8\\ \boxed{B=1}\end{array}$$
$$\begin{array}{c}2A+2B=6\\ 2A+2.1=6\\ 2A=6-2=4\\ \boxed{A=2}\end{array}$$
Setelah kita tahu besarnya variabel A dan B, kita bisa tuliskan kembali pecahan utuh dari soal integralnya menjadi bentuk pecahan parsialnya.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int \frac{6x+1}{4x^2+4x-3}.dx}={\displaystyle \int \left[\frac{2}{2x+3}+\frac{1}{2x-1}\right]}.dx\\ {\displaystyle \int \frac{6x+1}{4x^2+4x-3}.dx}={\displaystyle \int \frac{2}{2x+3}.dx+{\displaystyle \int \frac{1}{2x-1}}}.dx\end{array}$$

Mengerjakan integral dari setiap potongan pecahan parsial

Sesudah kita menyelesaikan bagian pertama dan mendapat bentuk pecahan parsial dari soal, kita akan menyelesaikan integralnya menggunakan sifat integral fungsi dari fungsi linear. Salah satu hal yang perlu kita ingat adalah integral salah satu fungsi umum, yaitu integral dari fungsi 1/x.

$$\boxed{{\displaystyle \int \frac{1}{x}.dx=\ln \left|x\right|+C}}$$
Kita akan mengerjakan masing-masing potongan integral, kemudian pada bagian akhir akan digabung jadi satu.

Catatan:
Bagi yang ingin mengetahui lebih detail penjelasan pengerjaan integral fungsi dari fungsi linear, bisa melihat contoh soal yang sesuai.

Potongan pertama integral dari pecahan parsial dikerjakan sebagai berikut.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int \frac{2}{2x+3}.dx}=2{\displaystyle \int \frac{1}{2x+3}.dx}=2{\displaystyle \int \frac{1}{u}.dx}\\ u=2x+3\\ 2x=u-3\\ x=\frac{u-3}{2}=\frac{1}{2}u-\frac{3}{2}\\ \frac{dx}{du}=\frac{1}{2}\\ dx=\frac{1}{2}.du\\ 2{\displaystyle \int \frac{1}{u}.dx}=2{\displaystyle \int \frac{1}{u}.\frac{1}{2}.du=2.\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{1}{u}.du}=\ln \left|u\right|}+C\\ \boxed{{\displaystyle \int \frac{2}{2x+3}.dx}=ln\left|2x+3\right|+C}\end{array}$$
Dan integral untuk potongan kedua dari pecahan parsial dikerjakan sebagai berikut.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int \frac{1}{2x-1}.dx}={\displaystyle \int \frac{1}{u}.dx}\\ u=2x-1\\ 2x=u+1\\ x=\frac{u+1}{2}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\ \frac{dx}{du}=\frac{1}{2}\\ dx=\frac{1}{2}.du\\ {\displaystyle \int \frac{1}{u}.dx}={\displaystyle \int \frac{1}{u}.\frac{1}{2}.du=\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{1}{u}.du}=\frac{1}{2}.\ln \left|u\right|}+C\\ \boxed{{\displaystyle \int \frac{1}{2x-1}.dx}=\frac{1}{2}.ln\left|2x-1\right|+C}\end{array}$$
Dan akhirnya kita gabungkan menjadi satu menjadi sebagai berikut.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int \frac{2}{2x+3}.dx+{\displaystyle \int \frac{1}{2x-1}}}.dx=\ln \left|2x+3\right|+C+\frac{1}{2}.\ln \left|2x-1\right|+C\\ {\displaystyle \int \frac{2}{2x+3}.dx+{\displaystyle \int \frac{1}{2x-1}}}.dx=\ln \left|2x+3\right|+\frac{1}{2}.\ln \left|2x-1\right|+C\end{array}$$
Jadi integral dari bentuk pecahan utuh dari soal bisa dikerjakan dengan dua langkah diatas dan dituliskan kembali seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int \frac{6x+1}{4x^2+4x-3}.dx}={\displaystyle \int \frac{2}{2x+3}.dx+{\displaystyle \int \frac{1}{2x-1}}}.dx\\ \boxed{{\displaystyle \int \frac{6x+1}{4x^2+4x-3}.dx}=\ln \left|2x+3\right|+\frac{1}{2}.\ln \left|2x-1\right|+C}\end{array}$$