0059 Persamaan Differensial Biasa Menggunakan Transformasi Laplace 002

Soal

Selesaikanlah persamaan differensial dengan kondisi awal dibawah ini menggunakan transformasi Laplace.

$$\begin{array}{c}Dx=\cos \left(t\right)\\ \text{Kondisi Awal: }x\left(0\right)=5\end{array}$$
Jawaban Soal

Untuk menyelesaikan persamaan differensial biasa menggunakan transformasi Laplace, kita perlu mengingat transformasi bentuk umum dari fungsi domain t ke dalam fungsi domain s yang sesuai dengan soal diatas.


$$\begin{array}{c}L\left\{Dx\right\}=s.L\left\{x\right\}-x\left(0\right)\\ L\left\{\cos \beta t\right\}=\frac{s}{s^2+{\beta }^2}\end{array}$$
Berikutnya kita akan menggunakan kedua transformasi bentuk umum diatas kedalam penyelesaian soal sampai kita dapatkan bentuk L{x} di ruas kiri.

$$\begin{array}{c}Dx=\cos t\\ L\left\{Dx\right\}=L\left\{\cos t\right\}\\ s.L\left\{x\right\}-x\left(0\right)=\frac{s}{s^2+{\beta }^2}\\ s.L\left\{x\right\}-5=\frac{s}{s^2+1^2}\\ s.L\left\{x\right\}-5=\frac{s}{s^2+1}\\ s.L\left\{x\right\}=\frac{s}{s^2+1}+5\\ s.L\left\{x\right\}=\frac{s}{s^2+1}+5.\frac{s^2+1}{s^2+1}\\ s.L\left\{x\right\}=\frac{s+5s^2+5}{s^2+1}\\ L\left\{x\right\}=\frac{5s^2+s+5}{s.\left(s^2+1\right)}\end{array}$$
Setelah kita dapatkan bentuk L{x} di ruas kiri, kita cek apakah ruas kanan berupa bentuk fungsi s yang bisa langsung dilakukan invers transformasi Laplace kembali ke fungsi t (atau dengan kata lain ruas kanan berupa bentuk umum yang ada di tabel invers transformasi Laplace). Jika ya, kita langsung lakukan invers transformasi Laplace. Jika tidak, kita perlu lakukan operasi aljabar lanjutan untuk menyederhanakan bentuk fungsi s di ruas kanan ke bentuk yang lebih sederhana dan ada di tabel invers transformasi Laplace.

Dari pengerjaan soal, kita dapatkan bentuk ruas kanan tidak bisa langsung dilakukan invers transformasi Laplace. Sehingga kita akan melakukan penyederhanaan menggunakan ekspansi pecahan parsial agar bentuk L{x} yang berupa pecahan utuh dan rumit diatas menjadi pecahan parsialnya yang lebih sederhana dan ada didalam tabel invers transformasi Laplace.

$$\begin{array}{l}\frac{5s^2+s+5}{s.\left(s^2+1\right)}=\frac{A}{s}+\frac{B.s+C}{s^2+1}\\ \overline{)\frac{5s^2+s+5}{s.\left(s^2+1\right)}=\frac{A}{s}+\frac{B.s+C}{s^2+1}}.s.\left(s^2+1\right)\\ \frac{5s^2+s+5}{\bcancel{s.\left(s^2+1\right)}}.\bcancel{s.\left(s^2+1\right)}=\frac{A}{\bcancel{s}}.\bcancel{s}.\left(s^2+1\right)+\frac{B.s+C}{\bcancel{s^2+1}}.s.\bcancel{\left(s^2+1\right)}\\ 5s^2+s+5=A.\left(s^2+1\right)+\left(B.s+C\right).s\end{array}$$
Sampai bagian ini, selanjutnya kita akan teruskan perhitungan untuk mencari nilai A, B, dan C.

$$\begin{array}{l}5s^2+s+5=A.\left(s^2+1\right)+\left(B.s+C\right).s\\ 5s^2+s+5=A.s^2+A+B.s^2+C.s\\ 5s^2+s+5=\left(A+B\right).s^2+C.s+A\end{array}$$
Dari perhitungan diatas, kita bisa menyusun beberapa persamaan dibawah dan menyelesaikannya untuk mendapatkan nilai A, B, dan C.

$$\begin{array}{l}5s^2+1.s+5=\left(A+B\right).s^2+C.s+A\\ \boxed{\begin{array}{l}A+B=5\\ C=1\\ A=5\end{array}}\\ A+B=5\\ 5+B=5\\ B=5-5=0\end{array}$$
Dari subsitusi sederhana diatas kita dapatkan bahwa nilai A=5, nilai B=0, dan nilai C=1 sehingga pecahan yang utuh dari L{x} bisa kita tuliskan menjadi pecahan parsialnya seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{l}L\left\{x\right\}=\frac{5s^2+s+5}{s.\left(s^2+1\right)}=\frac{A}{s}+\frac{B.s+C}{s^2+1}\\ L\left\{x\right\}=\frac{5}{s}+\frac{0.s+1}{s^2+1}\\ L\left\{x\right\}=\frac{5}{s}+\frac{1}{s^2+1}\end{array}$$
Untuk melakukan invers transformasi Laplace, kita akan sesuaikan dengan bentuk invers transformasi yang sesuai.

$$\begin{array}{l}{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1\\ L^{-1}\left\{\frac{1}{s^2+{\beta }^2}\right\}=\frac{1}{\beta }\sin \beta t\end{array}$$
Berikutnya kita teruskan pengerjaan soalnya.

$$\begin{array}{c}L\left\{x\right\}=\frac{5}{s}+\frac{1}{s^2+1}\\ x\left(t\right)=L^{-1}\left\{\frac{5}{s}\right\}+L^{-1}\left\{\frac{1}{s^2+1}\right\}\\ x\left(t\right)=5.L^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}+L^{-1}\left\{\frac{1}{s^2+1^2}\right\}\\ x\left(t\right)=5.L^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}+L^{-1}\left\{\frac{1}{s^2+1^2}\right\}\\ x\left(t\right)=5.1+\frac{1}{1}\sin 1.t\\ \boxed{x\left(t\right)=5+\sin t}\end{array}$$
Dari pengerjaan invers transformasi Laplace, kita dapatkan solusi khusus atau jawaban dari persamaan differensial soal.