0058 Persamaan Differensial Biasa Menggunakan Transformasi Laplace 001

Soal

Selesaikanlah persamaan differensial dengan kondisi awal dibawah ini menggunakan transformasi Laplace.

$$\begin{array}{c}Dx=t\\ \text{Kondisi Awal: }x\left(0\right)=0\end{array}$$
Jawaban Soal

Untuk menyelesaikan persamaan differensial biasa menggunakan transformasi Laplace, kita perlu mengingat transformasi bentuk umum dari fungsi domain t ke dalam fungsi domain s yang sesuai dengan soal diatas.

$$\begin{array}{c}L\left\{Dx\right\}=s.L\left\{x\right\}-x\left(0\right)\\ L\left\{t^n\right\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\end{array}$$
Berikutnya kita akan menggunakan kedua transformasi bentuk umum diatas kedalam penyelesaian soal sampai kita dapatkan bentuk L{x} di ruas kiri.

$$\begin{array}{c}Dx=t\\ L\left\{Dx\right\}=L\left\{t^1\right\}\\ s.L\left\{x\right\}-x\left(0\right)=\frac{1!}{s^{1+1}}\\ s.L\left\{x\right\}-0=\frac{1}{s^2}\\ s.L\left\{x\right\}=\frac{1}{s^2}\\ L\left\{x\right\}=\frac{1}{s^3}\end{array}$$
Setelah kita dapatkan bentuk L{x} di ruas kiri, kita cek apakah ruas kanan berupa bentuk fungsi s yang bisa langsung dilakukan invers transformasi Laplace kembali ke fungsi t (atau dengan kata lain ruas kanan berupa bentuk umum yang ada di tabel invers transformasi Laplace). Jika ya, kita langsung lakukan invers transformasi Laplace. Jika tidak, kita perlu lakukan operasi aljabar lanjutan untuk menyederhanakan bentuk fungsi s di ruas kanan ke bentuk yang lebih sederhana dan ada di tabel invers transformasi Laplace.

Dari pengerjaan soal, kita dapatkan bentuk ruas kanan bisa langsung dilakukan invers transformasi Laplace.

$$x\left(t\right)=L^{-1}\left\{\frac{1}{s^3}\right\}$$
Untuk melakukan invers transformasi Laplace, kita akan sesuaikan dengan bentuk invers transformasi yang sesuai.

$$L^{-1}\left\{\frac{1}{s^n}\right\}=\frac{t^{n-1}}{\left(n-1\right)!}$$
Berikutnya kita teruskan pengerjaan soalnya.

$$\begin{array}{c}x\left(t\right)=L^{-1}\left\{\frac{1}{s^3}\right\}\\ x\left(t\right)=\frac{t^{3-1}}{\left(3-1\right)!}=\frac{t^2}{2!}=\frac{t^2}{2.1}=\frac{t^2}{2}\\ \boxed{x\left(t\right)=\frac{1}{2}{t}^2}\end{array}$$
Dari pengerjaan invers transformasi Laplace, kita dapatkan solusi khusus atau jawaban dari persamaan differensial soal.