0042 Pembagian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kartesius 001

Soal

Hitunglah hasil pembagian antara dua bilangan kompleks berikut.

$$\begin{array}{c}{z}_1=3+i4\\ z_2=4+i1\end{array}$$
Jawaban Soal

Untuk menghitung pembagian antara dua bilangan kompleks, kita melakukan proses pembagian secara aljabar antara kedua bilangan kompleks tersebut dengan memanfaatkan perkalian dengan konjugat dari penyebut.



$$\begin{array}{c}{z}_3=\frac{z_1}{z_2}\\ z_3=\frac{3+i4}{4+i1}\end{array}$$
Pada bagian diatas, kita temukan bahwa penyebutnya adalah 4+i1 dan untuk meneruskan perhitungan kita akan lakukan perkalian dengan konjugatnya yaitu 4-i1. Perkalian dengan konjugat dilakukan agak nantinya pada bagian penyebut kita mendapatkan bagian real saja.

$$\begin{array}{c}{z}_3=\frac{3+i4}{4+i1}\\ z_3=\frac{3+i4}{4+i1}.\frac{4-i1}{4-i1}\\ z_3=\frac{\left(3+i4\right).\left(4-i1\right)}{\left(4+i1\right).\left(4-i1\right)}\\ z_3=\frac{12-i3+i16-i^{2}4}{16-i4+i4-i^{2}1}\\ z_3=\frac{12+i13-i^{2}4}{16-i^{2}1}\end{array}$$
Sampai bagian ini, kita perlu ingat bahwa i adalah bilangan imaginer dan i sama dengan akar pangkat dua dari -1. Sehingga kita bisa menghitung besarnya i kuadrat dan meneruskan perhitungan.

$$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}INGAT\to & \boxed{\begin{array}{l}i=\sqrt{-1}\\ i^2=i.i=\sqrt{-1}.\sqrt{-1}=-1\end{array}}\end{array}\\ z_3=\frac{12+i13-i^{2}4}{16-i^{2}1}\\ z_3=\frac{12+i13-\left(-1\right).4}{16-\left(-1\right).1}\\ z_3=\frac{12+i13+4}{16+1}\\ z_3=\frac{16+i13}{17}\\ z_3=\frac{16}{17}+i\frac{13}{17}\end{array}$$