0038 Titik Ekstrim Perpotongan Dua Fungsi Dua Variabel Bebas Menggunakan Pengganda Lagrange 003

Soal

Carilah koordinat, jenis, dan ketinggian titik ekstrim dari perpotongan dua fungsi dua variabel bebas f(x,y) dan g(x,y) dibawah.

$$\begin{array}{c}f(x,y)=2x+2y\\ g(x,y)\to x^2+y^2-8=0\end{array}$$
Jawaban Soal

Untuk mengerjakan soal diatas, kita akan memplotkan dulu fungsi f(x,y) dan g(x,y) soal menjadi grafik dalam sistem koordinat tiga dimensi.

Dari hasil plot, kita bisa melihat perpotongan dari fungsi f(x,y) dan g(x,y) berbentuk elips dua dimensi dengan posisi miring dan terdapat dua titik ekstrim di ujung atas dan ujung bawah elips. Untuk mencari koordinat, jenis, dan ketinggian kedua titik ekstrim tersebut, kita akan menggunakan metode Pengganda Lagrange.

Koordinat titik ekstrim perpotongan
Untuk mendapatkan koordinat titik ekstrimnya, pertama-tama kita perlu membentuk fungsi Lagrange yang merupakan gabungan dari fungsi f(x,y) dan g(x,y) dengan tambahan faktor pengganda Lagrange berupa lamda.

$$\boxed{F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda .g(x,y)}$$
Berikut fungsi Lagrange yang dibentuk dari fungsi-fungsi soal.

$$\begin{array}{c}F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda .g(x,y)\\ F(x,y,\lambda )=\left(2x+2y\right)+\lambda .\left(x^2+y^2-8\right)\\ \boxed{F(x,y,\lambda )=2x+2y+\lambda x^2+\lambda y^2-8\lambda }\end{array}$$
Setelah itu, kita turunkan fungsi Lagrange secara parsial terhadap variabel x, y, dan lamda.

$$\begin{array}{c}F(x,y,\lambda )=2x+2y+\lambda x^2+\lambda y^2-8\lambda \\ \boxed{\begin{array}{c}{F}_x=2+2\lambda x\\ F_y=2+2\lambda y\\ F_{\lambda }=x^2+y^2-8\end{array}}\end{array}$$
Berikutnya kita menggunakan kondisi Fx=0, Fy=0, dan Flamda=0.

$$\begin{array}{c}{F}_x=0\to \boxed{2+2\lambda x=\mathrm{0...}\boxed{1}}\\ F_y=0\to \boxed{2+2\lambda y=\mathrm{0...}\boxed{2}}\\ F_{\lambda }=0\to \boxed{x^2+y^2-8=\mathrm{0...}\boxed{3}}\end{array}$$
Dari hasil penggunaan kondisi, kita dapat tiga buah persamaan. Dan untuk mendapatkan koordinat titik ekstrim (x,y), bisa menggunakan subsitusi dan eliminasi seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}\boxed{\boxed{1}\to \begin{array}{c}\begin{array}{l}2+2\lambda x=0\\ 2\lambda x=-2\\ \lambda =\frac{-2}{2x}\\ \boxed{\lambda =\frac{-1}{x}}\end{array}\end{array}}\\ \boxed{\boxed{2}\to \begin{array}{c}\begin{array}{l}2+2\lambda y=0\\ 2\lambda y=-2\\ \lambda =\frac{-2}{2y}\\ \boxed{\lambda =\frac{-1}{y}}\end{array}\end{array}}\\ \boxed{\boxed{1\&2}\to \begin{array}{c}\begin{array}{l}\lambda =\lambda \\ \frac{-1}{x}=\frac{-1}{y}\\ -1.y=-1.x\\ \boxed{x=y}\end{array}\end{array}}\\ \boxed{\boxed{3}\to \begin{array}{c}\begin{array}{l}{x}^2+y^2-8=0\\ y^2+y^2=8\\ 2y^2=8\\ y^2=\frac{8}{2}=4\\ \boxed{\begin{array}{l}y=\sqrt{4}=\pm 2\\ y_1=2\\ y_2=-2\end{array}}\\ \boxed{\begin{array}{l}x=y\\ x_1=y_1=2\\ x_2=y_2=-2\end{array}}\end{array}\end{array}}\end{array}$$
Dari pengerjaan diatas, kita dapat kedua koordinat titik ekstrim perpotongan dari fungsi f(x,y) dan g(x,y) yaitu di (x1,y1)=(2,2) dan (x2,y2)=(-2,-2).

Jenis titik ekstrim perpotongan
Untuk mengetahui jenis kedua titik ekstrim perpotongan, apakah merupakan titik ekstrim maksimum (seperti puncak gunung) atau merupakan titik ekstrim minimum (seperti dasar lembah), kita akan memakai kondisi turunan parsial tingkat kedua dari fungsi Lagrange seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}TE.\min \to \overline{)\begin{array}{c}\begin{array}{l}{F}_{xx}>0\\ F_{yy}>0\end{array}\end{array}}\\ TE.\max \to \begin{array}{c}\overline{)\begin{array}{l}{F}_{xx}<0\\ F_{yy}<0\end{array}}\end{array}\end{array}$$
Dengan menggunakan turunan parsial tingkat kesatu fungsi Lagrange yang telah didapat di bagian perhitungan koordinat titik ekstrim perpotongan, kita bisa dapatkan turunan parsial tingkat kedua untuk melakukan pengecekan jenis titik ekstrim perpotongan.

$$\begin{array}{c}{F}_x=2+2\lambda x\\ \boxed{F_{xx}=2\lambda }\\ F_y=2+2\lambda y\\ \boxed{F_{yy}=2\lambda }\end{array}$$
Karena terdapat dua titik ekstrim, kita akan melakukan pengecekan jenis titik ekstrimnya satu persatu. Lamda nantinya dihitung menggunakan salah satu hasil perhitungan dibagian subsitusi dan eliminasi pada perhitungan koordinat titik ekstrim dibagian atas.

Titik ekstrim pertama (x1,y1)=(2,2)

$$\begin{array}{c}\lambda =\frac{-1}{x}=\frac{-1}{2}\\ \boxed{F_{xx}=2\lambda =2.\frac{-1}{2}=-1}\to F_{xx}<0\\ \boxed{F_{yy}=2\lambda =2.\frac{-1}{2}=-1}\to F_{yy}<0\\ \boxed{F_{xx}<\mathrm{0,}{F}_{yy}<0\to TE.\max }\end{array}$$
Karena kedua turunan parsial tingkat kedua untuk titik ekstrim pertama (x1,y1)=(2,2) lebih kecil dari nol, disimpulkan bahwa titik ekstrim perpotongan ini berjenis titik ekstrim maksimum.

Titik ekstrim kedua (x2,y2)=(-2,-2)

$$\begin{array}{c}\lambda =\frac{-1}{x}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\\ \boxed{F_{xx}=2\lambda =2.\frac{1}{2}=1}\to F_{xx}>0\\ \boxed{F_{yy}=2\lambda =2.\frac{1}{2}=1}\to F_{yy}>0\\ \boxed{F_{xx}>\mathrm{0,}{F}_{yy}>0\to TE.\min }\end{array}$$
Karena kedua turunan parsial tingkat kedua untuk titik ekstrim kedua (x2,y2)=(-2,-2) lebih besar dari nol, disimpulkan bahwa titik ekstrim perpotongan ini berjenis titik ekstrim minimum.

Ketinggian titik ekstrim perpotongan
Untuk mencari ketinggian titik ekstrim, atau besarnya z di koordinat titik ekstrim perpotongan (x1,y1)=(2,2) dan (x2,y2)=(-2,-2) kita tinggal mensubsitusikan lokasi koordinat ke persamaan fungsi f(x,y) seperti dibawah ini.

Titik ekstrim pertama (x1,y1)=(2,2)

$$\begin{array}{c}f(x,y)=2x+2y\\ TE.\max \to \boxed{\left(x_1,y_1\right)=\left(\mathrm{2,2}\right)}\\ z=2.2+2.2=4+4\\ \boxed{z_1=8}\end{array}$$
Dari perhitungan didapat nilai ketinggian saat titik ekstrim perpotongan maksimum (x1,y1)=(2,2) adalah z1=8.

Titik ekstrim kedua (x2,y2)=(-2,-2)

$$\begin{array}{c}f(x,y)=2x+2y\\ TE.\min \to \boxed{\left(x_2,y_2\right)=\left(-\mathrm{2,}-2\right)}\\ z=2.\left(-2\right)+2.\left(-2\right)=\left(-4\right)+\left(-4\right)\\ \boxed{z_2=-8}\end{array}$$
Dari perhitungan didapat nilai ketinggian saat titik ekstrim perpotongan minimum (x2,y2)=(-2,-2) adalah z2=-8.

Setelah kita mendapatkan koordinat, jenis, dan ketinggian kedua titik ekstrim perpotongan dari soal, kita plotkan kembali dalam grafik berikut.