0033 Titik Ekstrim Fungsi Dua Variabel Bebas 001

Soal

Carilah koordinat, jenis, dan ketinggian titik ekstrim dari fungsi dua variabel bebas z=f(x,y) dibawah.

$$z=f(x,y)=-x^2+12x-y^2+10y-45$$
Jawaban Soal

Untuk mengerjakan soal diatas, kita akan memplotkan dulu fungsi soal menjadi grafik dalam sistem koordinat tiga dimensi.

Dari hasil plot, kita bisa melihat terdapat satu titik ekstrim yang berbentuk seperti puncak gunung. Untuk mencari koordinat, jenis, dan ketinggian titik ekstrim dari fungsi soal, kita akan menggunakan turunan parsial dalam pengerjaannya.

Koordinat titik ekstrim
Untuk mendapatkan koordinat titik ekstrimnya, kita perlu ingat bahwa pada koordinat titik ekstrim, kemiringan fungsi searah sumbu x dan kemiringan fungsi searah sumbu y akan bernilai 0 atau tidak ada kemiringan. Artinya turunan parsial tingkat kesatu dari fungsi z terhadap variabel x dan terhadap variabel y akan bernilai 0, seperti dibawah ini.

$$\boxed{\begin{array}{l}{f}_x=0\\ f_y=0\end{array}}$$
Kita akan memakai kondisi diatas untuk mencari calon koordinat titik ekstrim.

$$\begin{array}{c}\boxed{z=f(x,y)=-x^2+12x-y^2+10y-45}\\ f_x=\frac{\partial z}{\partial x}=-2x+12\to \boxed{f_x=0}\\ -2x+12=0\\ 2x=12\\ \boxed{x=\frac{12}{2}=6}\\ f_y=\frac{\partial z}{\partial y}=-2y+10\to \boxed{f_y=0}\\ -2y+10=0\\ 2y=10\\ \boxed{y=\frac{10}{2}=5}\end{array}$$
Dari perhitungan, kita mendapat satu calon titik ekstrim yaitu di koordinat (x,y)=(6,5). Berikutnya kita akan mengecek apakah calon koordinat tersebut memang merupakan koordinat titik ekstrim atau merupakan koordinat titik stasioner. Pengujian menggunakan nilai determinan (D).

$$D=\left(f_{xx}.f_{yy}\right)-{\left(f_{xy}\right)}^2$$
Jika nilai D>0 maka koordinat tersebut merupakan titik ekstrim, jika D<0 maka koordinat itu merupakan titik stasioner. Untuk menghitung nilai D, kita akan menggunakan turunan parsial tingkat kedua dari fungsi z.

$$\begin{array}{c}\boxed{f_x=-2x+12}\\ f_{xx}=-2\\ f_{xy}=0\\ \boxed{f_y=-2y+10}\\ f_{yy}=-2\\ \boxed{D=\left(f_{xx}.f_{yy}\right)-{\left(f_{xy}\right)}^2}\\ D=\left(-2.-2\right)-{\left(0\right)}^2=4-0\\ \boxed{D=4}\to D>0\end{array}$$
Dari hitungan kita dapat nilai D=4 artinya D>0 dan dipastikan koordinat (x,y)=(6,5) merupakan koordinat titik ekstrim.

Jenis titik ekstrim
Untuk mengetahui jenis titik ekstrim, apakah merupakan titik ekstrim maksimum (seperti puncak gunung) atau merupakan titik ekstrim minimum (seperti dasar lembah), kita akan melakukan pengecekan menggunakan kondisi dibawah.

$$\begin{array}{c}TE.\min \to \overline{)\begin{array}{c}\begin{array}{l}{f}_{xx}>0\\ f_{xx}+f_{yy}>0\end{array}\end{array}}\\ TE.\max \to \begin{array}{c}\overline{)\begin{array}{l}{f}_{xx}<0\\ f_{xx}+f_{yy}<0\end{array}}\end{array}\end{array}$$
Besarnya turunan parsial fungsi z terhadap variabel x dan terhadap variabel y telah kita hitung pada bagian koordinat titik ekstrim, jadi kita akan pakai juga untuk menentukan jenis titik ekstrimnya.

$$\begin{array}{c}{f}_{xx}=-2\to \boxed{f_{xx}<0}\\ f_{xx}+f_{yy}=-2+-2=-4\to \boxed{f_{xx}+f_{yy}<0}\end{array}$$
Dari hitungan didapat kedua kondisi benilai kurang dari nol, dan bisa disimpulkan bahwa koordinat (x,y)=(6,5) merupakan titik ekstrim berjenis maksimum.

Ketinggian titik ekstrim
Untuk mencari ketinggian titik ekstrim, atau besarnya z di koordinat titik ekstrim (x,y)=(6,5) kita tinggal mensubsitusikan lokasi koordinat yaitu x=6 dan y=5 ke persamaan fungsi z=f(x,y)

$$\begin{array}{c}z=f(x,y)=-x^2+12x-y^2+10y-45\\ TE.\max \to \boxed{\left(x,y\right)=\left(\mathrm{6,5}\right)}\\ z=-6^2+12.6-5^2+10.5-45\\ z=-36+72-25+50-45\\ \boxed{z=16}\end{array}$$
Setelah kita mendapatkan koordinat, jenis, dan ketinggian titik ekstrim dari soal, kita plotkan kembali dalam grafik berikut.