0023 Turunan Parsial Fungsi Umum 001

Soal

Carilah turunan parsial terhadap x dan terhadap y dari fungsi z=f(x,y) dibawah.

$$z=f(x,y)=3x^{2}y+x{y}^2+5x+7y$$
Jawaban Soal

Untuk mencari turunan parsial dari fungsi yang mempunyai lebih dari satu variabel bebas, kita bisa menggunakan kaidah dasar turunan yang sama dengan yang berlaku untuk fungsi dengan satu variabel bebas, dengan mengangap variabel bebas yang tidak diturunkan sebagai konstanta.


Turunan parsial fungsi z terhadap variabel x
Karena yang dicari adalah turunan parsial fungsi z terhadap variabel x, maka kita perlu menganggap variabel y yang terdapat didalam fungsi z sebagai konstanta.

Kita akan turunkan fungsi z menjadi empat potongan biar lebih jelasnya.

Potongan pertama dengan menganggap 3y sebagai konstanta, sehingga yang diturunkan adalah x kuadrat.

$$\frac{\partial (3x^{2}y)}{\partial x}=\frac{3y.\partial (x^2)}{\partial x}=3y.2x=6xy$$
Potongan kedua dengan menganggap y kuadrat sebagai konstanta, sehingga yang diturunkan adalah x.

$$\frac{\partial (x{y}^2)}{\partial x}=\frac{y^2.\partial (x)}{\partial x}=y^2.1=y^2$$
Potongan ketiga konstantanya adalah 5, yang diturunkan adalah x.

$$\frac{\partial (5x)}{\partial x}=\frac{5.\partial (x)}{\partial x}=5.1=5$$
Potongan keempat tidak ada variabel x sehingga turunan dari 7y adalah nol.

$$\frac{\partial (7y)}{\partial x}=\frac{7y.\partial (1)}{\partial x}=7y.0=0$$
Kemudian keempat potongan disatukan menjadi seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}\frac{\partial z}{\partial x}=6xy+y^2+5+0\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=6xy+y^2+5}\end{array}$$

Turunan parsial fungsi z terhadap variabel y
Karena yang dicari adalah turunan parsial fungsi z terhadap variabel y, maka kita perlu menganggap variabel x yang terdapat didalam fungsi z sebagai konstanta.

Kita akan turunkan fungsi z menjadi empat potongan biar lebih jelasnya.

Potongan pertama dengan menganggap tiga x kuadrat sebagai konstanta, sehingga yang diturunkan adalah y.

$$\frac{\partial (3x^{2}y)}{\partial y}=\frac{3x^2.\partial (y)}{\partial y}=3x^2.1=3x^2$$
Potongan kedua dengan menganggap x sebagai konstanta, sehingga yang diturunkan adalah y kuadrat.

$$\frac{\partial (x{y}^2)}{\partial y}=\frac{x.\partial (y^2)}{\partial y}=x.2y=2xy$$
Potongan ketiga tidak ada variabel y sehingga turunan dari 5x adalah nol.

$$\frac{\partial (5x)}{\partial y}=\frac{5x.\partial (1)}{\partial y}=5x.0=0$$
Potongan keempat konstantanya 7, dan yang diturunkan adalah y.

$$\frac{\partial (7y)}{\partial y}=\frac{7.\partial (y)}{\partial y}=7.1=7$$
Kemudian keempat potongan disatukan menjadi seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}\frac{\partial z}{\partial y}=3x^2+2xy+0+7\\ \boxed{\frac{\partial z}{\partial y}=3x^2+2xy+7}\end{array}$$