0021 Volume Suatu Benda Putar 002

Soal

Carilah volume dari fungsi dibawah yang diputar dengan poros sumbu x dan poros sumbu y, dimana batas kiri xa = 2 dan batas kanan xb = 5.

$$y=x$$
Jawaban Soal

Untuk mendapat gambaran tentang benda putar yang akan terbentuk, pertama-tama kita plotkan fungsi dengan batas-batasnya. Kemudian kita coba membentuk benda putar dari arsiran fungsi dan batas-batasnya tersebut.

Dari gambar diatas, kita akan mendapatkan benda putar berupa kerucut terpancung berwarna ungu saat kita memutar arsiran menggunakan sumbu x sebagai poros putar. Kalau kita memutar arsiran menggunakan sumbu y sebagai poros putar, kita akan mendapatkan benda putar berwarna hijau.

Selanjutnya kita tuliskan kembali formula integral untuk menghitung volume benda putar seperti berikut ini.

$$\begin{array}{c}\boxed{V_{sb.x}=\pi {\displaystyle {\int }_a^b{y}^2.dx}}\\ \boxed{V_{sb.y}=2\pi {\displaystyle {\int }_a^b(\mathrm{x.y}).dx}}\end{array}$$
Volume benda putar dengan sumbu x sebagai poros putar (berwarna ungu) bisa dihitung sebagai berikut.

$$\begin{array}{c}{V}_{sb.x}=\pi {\displaystyle {\int }_a^b{y}^2.dx}=\pi {\displaystyle {\int }_2^5{\left(x\right)}^2.dx}\\ V_{sb.x}=\pi {\displaystyle {\int }_2^5{x}^2.dx}=\pi \left({\frac{1}{3}{x}^3]}_2^5\right)\\ V_{sb.x}=\pi \left(\left(\frac{1}{3}{.5}^3\right)-\left(\frac{1}{3}{.2}^3\right)\right)=\pi \left(\frac{125}{3}-\frac{8}{3}\right)\\ \boxed{V_{sb.x}=\frac{117}{3}\pi =39\pi \approx \mathrm{122,522}sv}\end{array}$$
Dan volume benda putar dengan sumbu y sebagai poros putar (berwarna hijau) dihitung seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}{V}_{sb.y}=2\pi {\displaystyle {\int }_a^b\left(x.y\right).dx}=2\pi {\displaystyle {\int }_2^5\left(x.x\right).dx}\\ V_{sb.y}=2\pi {\displaystyle {\int }_2^5{x}^2.dx}=2\pi \left({\frac{1}{3}{x}^3]}_2^5\right)\\ V_{sb.y}=2\pi \left(\left(\frac{1}{3}{.5}^3\right)-\left(\frac{1}{3}{.2}^3\right)\right)=2\pi \left(\frac{125}{3}-\frac{8}{3}\right)\\ \boxed{V_{sb.y}=\frac{234}{3}\pi =78\pi \approx \mathrm{245,044}sv}\end{array}$$