0019 Sentroid Suatu Bentuk Bidang 001

Soal

Carilah koordinat sentroid dari fungsi dibawah ini dengan batas kiri xa = 2 dan batas kanan xb = 5.

$$y=x^2$$
Jawaban Soal

Untuk mencari koordinat sentroid dari soal, pertama-tama kita plotkan fungsi beserta batas-batasnya.
++++++++++

UPDATE Februari 2023

Telah tersedia video penjelasan dari soal ini, silakan diklik, tq :)

+++++++

Kemudian, kita tuliskan kembali formula integral untuk mencari koordinat titik sentroid dari bidang yang diarsir warna biru seperti ditunjukan oleh gambar diatas.

$$\begin{array}{c}\boxed{\overline{x}=\frac{{\displaystyle \int xy.dx}}{{\displaystyle \int y.dx}}}\\ \boxed{\overline{y}=\frac{1}{2}.\frac{{\displaystyle \int y^2.dx}}{{\displaystyle \int y.dx}}}\end{array}$$
Kalau diperhatikan, ada tiga bagian yang perlu dihitung, yaitu: integral dari y, integral dari x.y, dan integral dari y kuadrat. Mari kita hitung ketiganya dengan memasukkan batas-batasnya.

Bagian pertama adalah integral dari y, kita hitung seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int y.dx={\displaystyle {\int }_2^5{x}^2.dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_2^5}}\\ {\displaystyle \int y.dx}=\left(\frac{1}{3}{.5}^3\right)-\left(\frac{1}{3}{.2}^3\right)=\frac{125}{3}-\frac{8}{3}=\frac{117}{3}\end{array}$$
Bagian kedua adalah integral dari x.y, dihitung seperti ini.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int x.y.dx=}{\displaystyle {\int }_2^{5}x.x^2.dx={\displaystyle {\int }_2^5{x}^3.dx}=}{\left[\frac{1}{4}{x}^4\right]}_2^5\\ {\displaystyle \int x.y.dx}=\left(\frac{1}{4}{.5}^4\right)-\left(\frac{1}{4}{.2}^4\right)=\frac{625}{4}-\frac{16}{4}=\frac{609}{4}\end{array}$$
Dan bagian ketiga, kita menghitung integral dari y kuadrat seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int y^2.dx=}{\displaystyle {\int }_2^5{\left(x^2\right)}^2.dx={\displaystyle {\int }_2^5{x}^4.dx}={\left[\frac{1}{5}{x}^5\right]}_2^5}\\ {\displaystyle \int y^2.dx}=\left(\frac{1}{5}{.5}^5\right)-\left(\frac{1}{5}{.2}^5\right)=\frac{3125}{5}-\frac{32}{5}=\frac{3093}{5}\end{array}$$
Setelah kita mendapatkan hasil dari ketiga bagian tersebut, kita bisa pakai untuk menghitung koordinat titik sentroid dari bidang yang diarsir.

$$\begin{array}{c}\overline{x}=\frac{{\displaystyle \int xy.dx}}{{\displaystyle \int y.dx}}=\frac{\raisebox{1ex}{$609$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.}{\raisebox{1ex}{$117$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}=\frac{609}{4}.\frac{3}{117}\\ \boxed{\overline{x}=\frac{1827}{468}=3\frac{423}{468}\approx \mathrm{3,904}}\\ \overline{y}=\frac{1}{2}.\frac{{\displaystyle \int y^2.dx}}{{\displaystyle \int y.dx}}=\frac{1}{2}.\frac{\raisebox{1ex}{$3093$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$5$}\right.}{\raisebox{1ex}{$117$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}=\frac{1}{2}.\frac{3093}{5}.\frac{3}{117}\\ \boxed{\overline{y}=\frac{9279}{1170}=7\frac{1089}{1170}\approx \mathrm{7,931}}\end{array}$$
Sekarang tinggal kita tuliskan hasil hitungan koordinat titik sentroid ke grafik yang kita plotkan sebelumnya.