0011 Integral Fungsi Dalam Bentuk Umum 001

Soal

Carilah integral dari

$${\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^2+3x-5}.dx}$$
Jawaban Soal

Jika kita diminta mencari integral dari fungsi diatas, biasanya kita akan memikirkan bahwa soal bisa diselesaikan menggunakan pecahan parsial, tapi kalau diperhatikan lagi, integral fungsi di soal sama atau menyerupai salah satu bentuk umum integral fungsi. Coba perhatikan kembali fungsi dibagian pembilang dan dibagian penyebutnya, ada hubungannya.



Bentuk umum integral yang dimaksud adalah seperti dibawah ini.

$$\boxed{{\displaystyle \int \frac{f\text{'}(x)}{f(x)}.dx}=\ln \left|f(x)\right|+C}$$
Fungsi dibagian pembilang merupakan turunan dari fungsi dibagian penyebut.

Jadi dari soal dan bentuk umum integral, kita bisa menyelesaikan soal dengan memisalkan z adalah fungsi dibagian penyebut, maka kita bisa tuliskan seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}z=x^2+3x-5\\ \frac{dz}{dx}=2x+3\\ dz=\left(2x+3\right).dx\end{array}$$
Sampai bagian ini kita telah mengetahui besar z dan turunan dari z atau dz. Selanjutnya kita tulis ulang soal dalam bentuk z dan dz.

$${\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^2+3x-5}.dx}={\displaystyle \int \frac{dz}{z}}={\displaystyle \int \frac{1}{z}}.dz$$
Dan dengan mengingat salah satu integral umum seperti di bawah ini.

$$\boxed{{\displaystyle \int \frac{1}{x}}.dx=\ln \left|x\right|+C}$$
Kita bisa selesaikan soal sebagai berikut ini.

$$\begin{array}{c}\boxed{{\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^2+3x-5}.dx}={\displaystyle \int \frac{1}{z}}.dz}\iff \boxed{{\displaystyle \int \frac{1}{x}}.dx}\\ {\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^2+3x-5}.dx}=\ln \left|z\right|+C\\ \boxed{{\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^2+3x-5}.dx}=\ln \left|x^2+3x-5\right|+C}\end{array}$$