0065 Sentroid Suatu Bentuk Bidang 002

Soal

Carilah koordinat sentroid dari fungsi dibawah ini dengan batas kiri xa = 0 dan batas kanan xb = 5.

$$y=x$$
Jawaban Soal

Untuk mencari koordinat sentroid dari soal, pertama-tama kita plotkan fungsi beserta batas-batasnya.

Kemudian, kita tuliskan kembali formula integral untuk mencari koordinat titik sentroid dari bidang yang diarsir warna biru seperti ditunjukan oleh gambar diatas.

$$\begin{array}{c}\boxed{\overline{x}=\frac{{\displaystyle \int xy.dx}}{{\displaystyle \int y.dx}}}\\ \boxed{\overline{y}=\frac{1}{2}.\frac{{\displaystyle \int y^2.dx}}{{\displaystyle \int y.dx}}}\end{array}$$
Kalau diperhatikan, ada tiga bagian yang perlu dihitung, yaitu: integral dari y, integral dari x.y, dan integral dari y kuadrat. Mari kita hitung ketiganya dengan memasukkan batas-batasnya.

Bagian pertama adalah integral dari y, kita hitung seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int y.dx={\displaystyle {\int }_0^{5}x.dx={\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^5}}\\ {\displaystyle \int y.dx}=\left(\frac{1}{2}{.5}^2\right)-\left(\frac{1}{2}{.0}^2\right)=\frac{25}{2}-0=\frac{25}{2}\end{array}$$
Bagian kedua adalah integral dari x.y, dihitung seperti ini.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int x.y.dx=}{\displaystyle {\int }_0^{5}x.x.dx={\displaystyle {\int }_0^5{x}^2.dx}=}{\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^5\\ {\displaystyle \int x.y.dx}=\left(\frac{1}{3}{.5}^3\right)-\left(\frac{1}{3}{.0}^3\right)=\frac{125}{3}-0=\frac{125}{3}\end{array}$$
Dan bagian ketiga, kita menghitung integral dari y kuadrat seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \int y^2.dx=}{\displaystyle {\int }_0^5{\left(x\right)}^2.dx={\displaystyle {\int }_0^5{x}^2.dx}={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^5}\\ {\displaystyle \int y^2.dx}=\left(\frac{1}{3}{.5}^3\right)-\left(\frac{1}{3}{.0}^3\right)=\frac{125}{3}-0=\frac{125}{3}\end{array}$$
Setelah kita mendapatkan hasil dari ketiga bagian tersebut, kita bisa pakai untuk menghitung koordinat titik sentroid dari bidang yang diarsir.

$$\begin{array}{c}\overline{x}=\frac{{\displaystyle \int xy.dx}}{{\displaystyle \int y.dx}}=\frac{\raisebox{1ex}{$125$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}{\raisebox{1ex}{$25$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=\frac{125}{3}.\frac{2}{25}=\frac{5}{3}.\frac{2}{1}\\ \boxed{\overline{x}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}\approx \mathrm{3,333}}\\ \overline{y}=\frac{1}{2}.\frac{{\displaystyle \int y^2.dx}}{{\displaystyle \int y.dx}}=\frac{1}{2}.\frac{\raisebox{1ex}{$125$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}{\raisebox{1ex}{$25$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=\frac{1}{2}.\frac{125}{3}.\frac{2}{25}=\frac{1}{2}.\frac{5}{3}.\frac{2}{1}\\ \boxed{\overline{y}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}\approx \mathrm{1,667}}\end{array}$$
Sekarang tinggal kita tuliskan hasil hitungan koordinat titik sentroid ke grafik yang kita plotkan sebelumnya.