0036 Titik Ekstrim Perpotongan Dua Fungsi Dua Variabel Bebas Menggunakan Pengganda Lagrange 001

Soal

Carilah koordinat, jenis, dan ketinggian titik ekstrim dari perpotongan dua fungsi dua variabel bebas f(x,y) dan g(x,y) dibawah.

$$\begin{array}{c}f(x,y)=x^2+y^2\\ g(x,y)\to x-2=0\end{array}$$
Jawaban Soal

Untuk mengerjakan soal diatas, kita akan memplotkan dulu fungsi f(x,y) dan g(x,y) soal menjadi grafik dalam sistem koordinat tiga dimensi.

Dari hasil plot, kita bisa melihat perpotongan dari fungsi f(x,y) dan g(x,y) berbentuk parabola dua dimensi dan terdapat satu titik ekstrim di dasarnya. Untuk mencari koordinat, jenis, dan ketinggian titik ekstrim tersebut, kita akan menggunakan metode Pengganda Lagrange.

Koordinat titik ekstrim perpotongan
Untuk mendapatkan koordinat titik ekstrimnya, pertama-tama kita perlu membentuk fungsi Lagrange yang merupakan gabungan dari fungsi f(x,y) dan g(x,y) dengan tambahan faktor pengganda Lagrange berupa lamda.

$$\boxed{F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda .g(x,y)}$$
Berikut fungsi Lagrange yang dibentuk dari fungsi-fungsi soal.

$$\begin{array}{c}F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda .g(x,y)\\ F(x,y,\lambda )=\left(x^2+y^2\right)+\lambda .\left(x-2\right)\\ \boxed{F(x,y,\lambda )=x^2+y^2+\lambda x-2\lambda }\end{array}$$
Setelah itu, kita turunkan fungsi Lagrange secara parsial terhadap variabel x, y, dan lamda.

$$\begin{array}{c}F(x,y,\lambda )=x^2+y^2+\lambda x-2\lambda \\ \boxed{\begin{array}{c}{F}_x=2x+\lambda \\ F_y=2y\\ F_{\lambda }=x-2\end{array}}\end{array}$$
Berikutnya kita menggunakan kondisi Fx=0, Fy=0, dan Flamda=0.

$$\begin{array}{c}{F}_x=0\to \boxed{2x+\lambda =\mathrm{0...}\boxed{1}}\\ F_y=0\to \boxed{2y=\mathrm{0...}\boxed{2}}\\ F_{\lambda }=0\to \boxed{x-2=\mathrm{0...}\boxed{3}}\end{array}$$
Dari hasil penggunaan kondisi, kita dapat tiga buah persamaan. Dan untuk mendapatkan koordinat titik ekstrim (x,y), bisa menggunakan subsitusi dan eliminasi seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}\boxed{\boxed{3}\to \begin{array}{c}\begin{array}{l}x-2=0\\ \boxed{x=2}\end{array}\end{array}}\\ \boxed{\boxed{2}\to \begin{array}{c}\begin{array}{l}2y=0\\ y=\frac{0}{2}\\ \boxed{y=0}\end{array}\end{array}}\end{array}$$
Dari pengerjaan diatas, kita dapat koordinat titik ekstrim perpotongan dari fungsi f(x,y) dan g(x,y) adalah di (x,y)=(2,0).

Jenis titik ekstrim perpotongan
Untuk mengetahui jenis titik ekstrim perpotongan, apakah merupakan titik ekstrim maksimum (seperti puncak gunung) atau merupakan titik ekstrim minimum (seperti dasar lembah), kita akan memakai kondisi turunan parsial tingkat kedua dari fungsi Lagrange seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}TE.\min \to \overline{)\begin{array}{c}\begin{array}{l}{F}_{xx}>0\\ F_{yy}>0\end{array}\end{array}}\\ TE.\max \to \begin{array}{c}\overline{)\begin{array}{l}{F}_{xx}<0\\ F_{yy}<0\end{array}}\end{array}\end{array}$$
Dengan menggunakan turunan parsial tingkat kesatu fungsi Lagrange yang telah didapat di bagian perhitungan koordinat titik ekstrim perpotongan, kita bisa dapatkan turunan parsial tingkat kedua untuk melakukan pengecekan jenis titik ekstrim perpotongan.

$$\begin{array}{c}{F}_x=2x+\lambda \\ \boxed{F_{xx}=2}\to F_{xx}>0\\ F_y=2y\\ \boxed{F_{yy}=2}\to F_{yy}>0\\ \boxed{F_{xx}>\mathrm{0,}{F}_{yy}>0\to TE.\min }\end{array}$$
Karena kedua turunan parsial tingkat kedua lebih besar dari nol, disimpulkan bahwa titik ekstrim perpotongan berjenis titik ekstrim minimum.

Ketinggian titik ekstrim perpotongan
Untuk mencari ketinggian titik ekstrim, atau besarnya z di koordinat titik ekstrim perpotongan (x,y)=(2,0) kita tinggal mensubsitusikan lokasi koordinat yaitu x=2 dan y=0 ke persamaan fungsi f(x,y) seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}f(x,y)=x^2+y^2\\ TE.\min \to \boxed{\left(x,y\right)=\left(\mathrm{2,0}\right)}\\ z=2^2+0^2=4+0\\ \boxed{z=4}\end{array}$$
Dari perhitungan didapat nilai ketinggian saat titik ekstrim perpotongan adalah z=4.

Setelah kita mendapatkan koordinat, jenis, dan ketinggian titik ekstrim perpotongan dari soal, kita plotkan kembali dalam grafik berikut.