0015 Integral Fungsi Dalam Bentuk Umum 005

Soal

Carilah integral dari

$${\displaystyle \int \cot x.dx}$$
Jawaban Soal

Jika kita diminta mencari integral dari fungsi diatas, kita perlu memperhatikan apakah integral fungsi di soal sama atau menyerupai salah satu bentuk umum integral fungsi.



Untuk meneruskan pengerjaan soal, pertama-tama kita perlu mengubah bentuk soal menggunakan trigonometri, semoga masih ingat sedikit hubungan antara cotangen, cosinus, dan sinus.

$${\displaystyle \int \cot x.dx}={\displaystyle \int \frac{\cos x}{\sin x}.dx}$$
Coba perhatikan kembali fungsi dibagian pembilang dan dibagian penyebutnya, ada hubungannya. Fungsi dibagian pembilang merupakan turunan dari fungsi dibagian penyebut.

Setelah itu, kita bisa melihat bahwa soal diatas sama atau menyerupai bentuk umum integral seperti dibawah ini.

$$\boxed{{\displaystyle \int \frac{f\text{'}(x)}{f(x)}.dx}=\ln \left|f(x)\right|+C}$$
Jadi dari soal dan bentuk umum integral, kita bisa menyelesaikan soal dengan memisalkan z adalah fungsi dibagian penyebut, maka kita bisa tuliskan seperti dibawah ini.

$$\begin{array}{c}z=\sin x\\ \frac{dz}{dx}=\cos x\\ dz=\left(\cos x\right).dx\end{array}$$
Sampai bagian ini kita telah mengetahui besar z dan turunan dari z atau dz. Selanjutnya kita tulis ulang soal dalam bentuk z dan dz.

$${\displaystyle \int \cot x.dx}={\displaystyle \int \frac{\cos x}{\sin x}.dx}={\displaystyle \int \frac{dz}{z}}={\displaystyle \int \frac{1}{z}}.dz$$
Dan dengan mengingat salah satu integral umum seperti di bawah ini.

$$\boxed{{\displaystyle \int \frac{1}{x}}.dx=\ln \left|x\right|+C}$$
Kita bisa selesaikan soal sebagai berikut ini.

$$\begin{array}{c}\boxed{{\displaystyle \int \cot x.dx}={\displaystyle \int \frac{\cos x}{\sin x}.dx}={\displaystyle \int \frac{1}{z}}.dz}\iff \boxed{{\displaystyle \int \frac{1}{x}}.dx}\\ {\displaystyle \int \cot x.dx}={\displaystyle \int \frac{\cos x}{\sin x}.dx}=\ln \left|z\right|+C\\ \boxed{{\displaystyle \int \cot x.dx}={\displaystyle \int \frac{\cos x}{\sin x}.dx}=\ln \left|\sin x\right|+C}\end{array}$$